ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В тёмном ящике 6 билетов, из которых $n$ билетов выигрышных и $6 — n$ проигрышных, $n = 0, 1, 2, 3, \ldots, 6$. Вы случайно вытаскиваете одновременно 2 билета. Найдите вероятность $p(n)$ того, что у вас есть ровно один выигрышный билет. Численные результаты соберите в таблицу.

В темном ящике 6 билетов, из которых:

$n$ — выигрышных и $(6 — n)$ — проигрышных, где $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$;
Случайно вытягивают 2 билета;

Вероятность, что есть ровно один выигрышный билет:

$$P(n) = \frac{C_n^1 \cdot C_{(6-n)}^1}{C_6^2} = \frac{n!}{1! \cdot (n-1)!} \cdot \frac{(6-n)!}{1! \cdot (6-n-1)!} : \frac{6!}{2! \cdot (6-4)!} =$$ $$= \frac{n(n-1)! \cdot (6-n)(5-n)!}{(n-1)! \cdot (5-n)!} \cdot \frac{2 \cdot 4!}{6 \cdot 5 \cdot 4!} = n \cdot (6-n) \cdot \frac{2}{30} = \frac{n(6-n)}{15};$$

Выражение имеет смысл при $n \leq 6$;

Таблица результатов:

$$P(0) = \frac{0 \cdot (6-0)}{15} = \frac{0}{15} = 0;$$ $$P(1) = \frac{1 \cdot (6-1)}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3};$$ $$P(2) = \frac{2 \cdot (6-2)}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15} = \frac{8}{15};$$ $$P(3) = \frac{3 \cdot (6-3)}{15} = \frac{3 \cdot 3}{15} = \frac{3}{5};$$ $$P(4) = \frac{4 \cdot (6-4)}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15} = \frac{8}{15};$$ $$P(5) = \frac{5 \cdot (6-5)}{15} = \frac{5 \cdot 1}{15} = \frac{1}{3};$$ $$P(6) = \frac{6 \cdot (6-6)}{15} = \frac{6 \cdot 0}{15} = \frac{0}{15} = 0;$$

В темном ящике 6 билетов, из которых $n$ — выигрышных и $(6 — n)$ — проигрышных, где $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Случайно вытягивают 2 билета. Необходимо найти вероятность того, что среди вытянутых билетов окажется ровно один выигрышный.

1. Формулировка задачи

Итак, у нас есть 6 билетов, из которых:

• $n$ — выигрышных билетов,
• $(6 — n)$ — проигрышных билетов.

Мы вытягиваем 2 билета, и нам нужно найти вероятность того, что один из этих билетов окажется выигрышным, а другой — проигрышным. Это нужно найти для каждого возможного числа выигрышных билетов $n$, где $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

2. Вычисление вероятности

Нам нужно вычислить вероятность $P(n)$ того, что среди двух вытянутых билетов окажется ровно один выигрышный. Для этого будем использовать формулу для вероятности совместного события:

$$P(n) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число возможных исходов}}.$$

Общее количество исходов

Общее количество способов выбрать 2 билета из 6 — это количество сочетаний из 6 по 2:

$$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15.$$

Число благоприятных исходов

Теперь посчитаем число благоприятных исходов. Мы должны выбрать один выигрышный билет и один проигрышный.

• Количество способов выбрать 1 выигрышный билет из $n$ выигрышных: $C_n^1 = n$,
• Количество способов выбрать 1 проигрышный билет из $(6 — n)$ проигрышных: $C_{(6-n)}^1 = 6 — n$.

Таким образом, число благоприятных исходов для каждого $n$ будет равно:

$$\text{Число благоприятных исходов} = C_n^1 \cdot C_{(6-n)}^1 = n \cdot (6 — n).$$

Вероятность $P(n)$

Теперь вероятность $P(n)$ для каждого значения $n$ рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов к общему количеству исходов:

$$P(n) = \frac{n \cdot (6 — n)}{C_6^2} = \frac{n \cdot (6 — n)}{15}.$$

3. Таблица значений вероятности

Теперь вычислим значения вероятности для каждого возможного $n$ от 0 до 6.

• Для $n = 0$:

  $$P(0) = \frac{0 \cdot (6 — 0)}{15} = \frac{0}{15} = 0.$$

• Для $n = 1$:

  $$P(1) = \frac{1 \cdot (6 — 1)}{15} = \frac{1 \cdot 5}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.$$

• Для $n = 2$:

  $$P(2) = \frac{2 \cdot (6 — 2)}{15} = \frac{2 \cdot 4}{15} = \frac{8}{15}.$$

• Для $n = 3$:

  $$P(3) = \frac{3 \cdot (6 — 3)}{15} = \frac{3 \cdot 3}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}.$$

• Для $n = 4$:

  $$P(4) = \frac{4 \cdot (6 — 4)}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15} = \frac{8}{15}.$$

• Для $n = 5$:

  $$P(5) = \frac{5 \cdot (6 — 5)}{15} = \frac{5 \cdot 1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.$$

• Для $n = 6$:

  $$P(6) = \frac{6 \cdot (6 — 6)}{15} = \frac{6 \cdot 0}{15} = \frac{0}{15} = 0.$$

4. Итоговая таблица

Теперь соберем все эти результаты в таблицу:

5. Заключение

Мы нашли вероятности $P(n)$ для всех значений $n$ от 0 до 6, при которых вытянуты ровно один выигрышный и один проигрышный билет. Формула для этой вероятности выглядит как:

$$P(n) = \frac{n \cdot (6 — n)}{15}.$$

Таким образом, для каждого количества выигрышных билетов $n$ мы рассчитали вероятность того, что из двух вытянутых билетов будет ровно один выигрышный.