ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В темном ящике 8 белых и 7 черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара. Найдите вероятность того, что:

a) все шары белые;

б) имеется, как минимум, три белых шара;

в) имеется, как минимум, два черных шара;

г) есть хотя бы один белый шар.

В ящике 8 белых и 7 черных шаров.

Случайно вытаскивают четыре шара.

Всего шаров: $N = 8 + 7 = 15$.

а) Вероятность, что все шары белые:

$$P = \frac{8}{15} \cdot \frac{7}{14} \cdot \frac{6}{13} \cdot \frac{5}{12} = \frac{8}{3 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2} = \frac{2}{39} = 0,051;$$

б) Вероятность, что как минимум три шара белые:

$$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 5!} = 8 \cdot 7 = 56;$$ $$C_7^1 = \frac{7!}{1! \cdot (7-1)!} = \frac{7 \cdot 6!}{6!} = 7;$$ $$C_{15}^4 = \frac{15!}{4! \cdot (15-4)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11!} = 15 \cdot 7 \cdot 13 = 1365;$$ $$P_3 = \frac{C_8^3 \cdot C_7^1}{C_{15}^4} = \frac{56 \cdot 7}{1365} = \frac{56}{195} = 0,287;$$ $$P_4 = \frac{8}{15} \cdot \frac{7}{14} \cdot \frac{6}{13} \cdot \frac{5}{12} = \frac{8}{3 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2} = \frac{2}{39} = 0,051;$$ $$P = P_3 + P_4 = 0,287 + 0,051 = 0,338;$$

в) Вероятность, что как минимум два шара черные:

$$C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{3 \cdot 2 \cdot 5!} = 8 \cdot 7 = 56;$$ $$C_7^1 = \frac{7!}{1! \cdot (7-1)!} = \frac{7 \cdot 6!}{6!} = 7;$$ $$C_{15}^4 = \frac{15!}{4! \cdot (15-4)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11!} = 15 \cdot 7 \cdot 13 = 1365;$$ $$P_3 = \frac{C_8^3 \cdot C_7^1}{C_{15}^4} = \frac{56 \cdot 7}{1365} = \frac{56}{195} = 0,287;$$ $$P_4 = \frac{8}{15} \cdot \frac{7}{14} \cdot \frac{6}{13} \cdot \frac{5}{12} = \frac{8}{3 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2} = \frac{2}{39} = 0,051;$$ $$P = 1 — P_3 — P_4 = 1 — 0,287 — 0,051 = 0,662;$$

г) Вероятность, что есть хотя бы один белый шар:

$$\overline{P} = \frac{7}{15} \cdot \frac{6}{14} \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{12} = \frac{4}{3 \cdot 2 \cdot 13 \cdot 2} = \frac{1}{39};$$ $$P = 1 — \overline{P} = \frac{39}{39} — \frac{1}{39} = \frac{38}{39} = 0,974;$$

Ответ: а) 0,051; б) 0,338; в) 0,662; г) 0,974.

Обозначения:

$N = 8 + 7 = 15$ — общее количество шаров.

Из 15 шаров 8 белых и 7 черных.

Мы будем использовать формулу вероятности для случайных событий с выбором без возвращения:

$$P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}},$$

где количество благоприятных исходов можно найти через сочетания.

Сочетание $C_n^k$ (или $\binom{n}{k}$) — это количество способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка. Формула сочетания:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n — k)!}.$$

Теперь перейдем к решению каждого пункта задачи.

а) Вероятность, что все шары белые.

Для того чтобы все четыре шара были белыми, нам нужно выбрать 4 белых шара из 8 возможных.

Количество благоприятных исходов: Это количество способов выбрать 4 белых шара из 8:

$$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8 — 4)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70.$$

Общее количество исходов: Это количество способов выбрать любые 4 шара из 15 (независимо от их цвета):

$$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15 — 4)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365.$$

Вероятность того, что все 4 шара белые:

$$P(\text{все белые}) = \frac{C_8^4}{C_{15}^4} = \frac{70}{1365} \approx 0,051.$$

б) Вероятность, что имеется как минимум три белых шара.

«Как минимум три белых шара» означает, что либо 3 белых и 1 черный, либо все 4 белых.

Количество благоприятных исходов для 3 белых и 1 черный:

• Количество способов выбрать 3 белых шара из 8:

$$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56.$$

• Количество способов выбрать 1 черный шар из 7:

$$C_7^1 = \frac{7 \cdot 6!}{1 \cdot 6!} = 7.$$

Таким образом, количество способов выбрать 3 белых и 1 черный:

$$C_8^3 \cdot C_7^1 = 56 \cdot 7 = 392.$$

Общее количество благоприятных исходов для 4 белых шаров мы уже посчитали, это $C_8^4 = 70$.

Общее количество благоприятных исходов для события «как минимум три белых шара» — это сумма двух случаев:

$$P(\text{как минимум 3 белых}) = \frac{C_8^3 \cdot C_7^1 + C_8^4}{C_{15}^4} = \frac{392 + 70}{1365} = \frac{462}{1365} \approx 0,338.$$

в) Вероятность, что имеется как минимум два черных шара.

«Как минимум два черных шара» означает, что либо 2 черных и 2 белых, либо 3 черных и 1 белый, либо все 4 черных.

Количество благоприятных исходов для 2 черных и 2 белых:

• Количество способов выбрать 2 черных шара из 7:

$$C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21.$$

• Количество способов выбрать 2 белых шара из 8:

$$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28.$$

Таким образом, количество способов выбрать 2 черных и 2 белых:

$$C_7^2 \cdot C_8^2 = 21 \cdot 28 = 588.$$

Количество благоприятных исходов для 3 черных и 1 белый:

• Количество способов выбрать 3 черных шара из 7:

$$C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35.$$

• Количество способов выбрать 1 белый шар из 8:

$$C_8^1 = 8.$$

Таким образом, количество способов выбрать 3 черных и 1 белый:

$$C_7^3 \cdot C_8^1 = 35 \cdot 8 = 280.$$

Количество благоприятных исходов для 4 черных:

• Количество способов выбрать 4 черных шара из 7:

$$C_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 35.$$

Общее количество благоприятных исходов для «как минимум два черных» — это сумма всех трех случаев:

$$P(\text{как минимум 2 черных})=\frac{C_7^2\cdot C_8^2+C_7^3\cdot C_8^1+C_7^4}{C_{15}^4}=$$

$$P(\text{как минимум 2 черных}) = \frac{C_7^2 \cdot C_8^2 + C_7^3 \cdot C_8^1 + C_7^4}{C_{15}^4} = \frac{588 + 280 + 35}{1365} = \frac{903}{1365} \approx 0,662.$$

г) Вероятность, что есть хотя бы один белый шар.

«Хотя бы один белый шар» означает, что из 4 вытянутых шаров хотя бы один белый.

Вероятность, что нет белых шаров (все 4 шара черные):
Для того чтобы не было белых шаров, все 4 шара должны быть черными. Количество способов выбрать 4 черных шара из 7:

$$C_7^4 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 35.$$

Общее количество исходов: Количество способов выбрать любые 4 шара из 15:

$$C_{15}^4 = 1365.$$

Вероятность, что все 4 шара черные:

$$P(\text{все черные}) = \frac{C_7^4}{C_{15}^4} = \frac{35}{1365} \approx 0,0256.$$

Вероятность, что хотя бы один шар белый — это дополнение к вероятности, что все шары черные:

$$P(\text{хотя бы один белый}) = 1 — P(\text{все черные}) = 1 — 0,0256 = 0,9744.$$

Ответ:

а) Вероятность, что все шары белые: $0,051$.

б) Вероятность, что имеется как минимум три белых шара: $0,338$.

в) Вероятность, что имеется как минимум два черных шара: $0,662$.

г) Вероятность, что есть хотя бы один белый шар: $0,974$.