ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В тёмном ящике $n$ белых и $n-1$ чёрных шаров. Вы случайным образом вытаскиваете одновременно 4 шара.

а) Найдите вероятность того, что имеется, как минимум, три белых шара.

б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом $n$.

в) К какому числу стремится эта вероятность при $n\to \mathrm{\infty }$?

г) Найдите наименьшее $n$, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,35.

В ящике $n$ белых и $(n-1)$ чёрных шаров;

Случайно вытаскивают 4 шара;

Всего шаров: $N=n+n-1=2n-1$;

а) Вероятность того, что имеется, как минимум, три белых шара:

$$C_{n-1}^1=\frac{(n-1)!}{(n-1-1)!}=\frac{(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=(n-1);$$

$$C_n^0=\frac{n!}{0!\cdot (n-0)!}=\frac{n!}{n!}=1;$$

$$P(n)=\frac{C_n^3\cdot C_{n-1}^1+C_n^4\cdot C_{n-1}^0}{C_{2n-1}^4}=(\frac{n!}{3!\cdot (n-3)!}\cdot (n-1)+\frac{n!}{4!\cdot (n-4)!}):$$

$$:\frac{(2n-1)!}{4!\cdot (2n-1-4)!}=$$

$$=(\frac{n(n-1)(n-2)}{3\cdot 2}\cdot (n-1)+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4\cdot 3\cdot 2})\cdot$$

$$·\frac{4\cdot 3\cdot 2}{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}=$$

$$=\frac{4n(n-1{)}^2(n-2)+n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\cdot \frac{24}{4\cdot (2n-1)(2n-3)}=$$

$$=\frac{4n(n-1)+n(n-3)}{4(2n-1)(2n-3)}=\frac{4n^2-4n+n^2-3n}{4(2n-1)(2n-3)}=\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)};$$

б) Докажем, что вероятность убывает с ростом $n$:

$$\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{n}{2n-1}\cdot \frac{5n-7}{2n-3}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}(1+\frac{1}{2n-1})\cdot \frac{1}{2}(5+\frac{1}{2n-3});$$

$(2n-1)$ и $(2n-3)$ — возрастают;

$\frac{1}{2n-1}$ и $\frac{1}{2n-3}$ — убывают;

Значит вероятность монотонно убывает с ростом $n$;

в) Предел вероятности при $n\to \mathrm{\infty }$:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{16}\cdot (1+\frac{1}{2n-1})(5+\frac{1}{2n-3})=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{16}\cdot (1+\frac{\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n}})(5+\frac{\frac{1}{n}}{2-\frac{3}{n}})=$$

$$=\frac{1}{16}\cdot (1+\frac{0}{2-0})(5+\frac{0}{2-0})=\frac{1}{16}\cdot 1\cdot 5=\frac{5}{16}=0,3125;$$

Ответ: $0,3125$.

г) Наименьшее $n$, начиная с которого вероятность будет меньше $0,35$:

$$\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)}<\frac{35}{100};$$

$$100(5n^2-7n)<140(2n-1)(2n-3);$$

$$500n^2-700n<140(4n^2-6n-2n+3);$$

$$500n^2-700n<560n^2-1120n+420;$$

$$-60n^2+420n-420<0;$$

$$n^2-7n+7>0;$$

$$D=7^2-4\cdot 7=49-28=21,\text{ тогда: }$$

$$n_1=\frac{7-\sqrt{21}}{2}\approx 1,2\text{и}{n}_2=\frac{7+\sqrt{21}}{2}\approx 5,7;$$

$$(n-1,2)(n-5,7)>0;$$

$$n<1,2\text{или}n>5,7;$$

Ответ: $n=6$.

В ящике $n$ белых и $(n-1)$ черных шаров. Случайным образом вытаскивают 4 шара. Нужно найти вероятность того, что среди вытянутых будет как минимум три белых шара.

Обозначения:

• $n$ — количество белых шаров.
• $n-1$ — количество черных шаров.
• $N=2n-1$ — общее количество шаров в ящике.

а) Вероятность того, что среди вытянутых 4 шаров как минимум три белых.

Чтобы рассчитать эту вероятность, рассмотрим следующие возможные случаи:

1. 3 белых шара и 1 черный.
2. 4 белых шара.

Для этого используем формулу вероятности через сочетания.

Шаг 1: Находим количество благоприятных исходов.

3 белых шара и 1 черный:

• Для выбора 3 белых шаров из $n$ белых шаров существует сочетание: $C_n^3=\frac{n!}{3!\cdot (n-3)!}$.
• Для выбора 1 черного шара из $n-1$ черных шаров существует сочетание: $C_{n-1}^1=\frac{(n-1)!}{1!\cdot (n-2)!}=(n-1)$.

Количество благоприятных исходов для этого случая: $C_n^3\cdot C_{n-1}^1=\frac{n!}{3!\cdot (n-3)!}\cdot (n-1)$.

4 белых шара:

• Для выбора 4 белых шаров из $n$ белых шаров существует сочетание: $C_n^4=\frac{n!}{4!\cdot (n-4)!}$.
• Для выбора 0 черных шаров из $n-1$ черных шаров существует сочетание: $C_{n-1}^0=1$.

Количество благоприятных исходов для этого случая: $C_n^4\cdot C_{n-1}^0=\frac{n!}{4!\cdot (n-4)!}\cdot 1$.

Шаг 2: Находим общее количество исходов.

Общее количество способов выбрать 4 шара из $2n-1$ шаров (с белыми и черными) равно:

$$C_{2n-1}^4=\frac{(2n-1)!}{4!\cdot (2n-5)!}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Расчет вероятности.

Теперь можно вычислить вероятность того, что среди вытянутых будет как минимум три белых шара. Это будет равно отношению суммы благоприятных исходов (для 3 белых и 1 черного, а также для 4 белых) к общему количеству исходов:

$$P(n)=\frac{C_n^3\cdot C_{n-1}^1+C_n^4\cdot C_{n-1}^0}{C_{2n-1}^4}\mathrm{.}$$

Подставим выражения для сочетаний:

$$P(n)=\frac{\frac{n!}{3!\cdot (n-3)!}\cdot (n-1)+\frac{n!}{4!\cdot (n-4)!}}{\frac{(2n-1)!}{4!\cdot (2n-5)!}}\mathrm{.}$$

Упростим это выражение:

$$P(n)=(\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\cdot (n-1)+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24})\cdot$$

$$·\frac{24}{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}\mathrm{.}$$

Распишем это более подробно:

$$P(n)=\frac{4n(n-1{)}^2(n-2)+n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\cdot$$

$$·\frac{24}{(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)}\mathrm{.}$$

Упростив, получим:

$$P(n)=\frac{4n(n-1{)}^2(n-2)+n(n-1)(n-2)(n-3)}{4(2n-1)(2n-3)}\mathrm{.}$$

И, наконец:

$$P(n)=\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)}\mathrm{.}$$

б) Доказательство, что вероятность убывает с ростом $n$.

Теперь нужно доказать, что вероятность $P(n)$ убывает с ростом $n$.

Рассмотрим выражение для вероятности:

$$P(n)=\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)}\mathrm{.}$$

Это можно представить как:

$$P(n)=\frac{1}{4}\cdot \frac{n}{2n-1}\cdot \frac{5n-7}{2n-3}\mathrm{.}$$

Обратите внимание, что $2n-1$ и $2n-3$ увеличиваются с ростом $n$, а дроби $\frac{1}{2n-1}$ и $\frac{1}{2n-3}$ уменьшаются. Это значит, что вероятность убывает с ростом $n$.

в) Предел вероятности при $n\to \mathrm{\infty }$.

При $n\to \mathrm{\infty }$, выражение для вероятности стремится к пределу:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{16}\cdot (1+\frac{1}{2n-1})(5+\frac{1}{2n-3})\mathrm{.}$$

При $n\to \mathrm{\infty }$ значения $\frac{1}{2n-1}$ и $\frac{1}{2n-3}$ стремятся к нулю, и получаем:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{16}\cdot 1\cdot 5=\frac{5}{16}=\mathrm{0.3125.}$$

Ответ: предел вероятности равен $0.3125$.

г) Наименьшее $n$, начиная с которого вероятность будет меньше $0.35$.

Для этого нужно решить неравенство:

$$\frac{5n^2-7n}{4(2n-1)(2n-3)}<\mathrm{0.35.}$$

Умножив обе части на 100, получим:

$$100(5n^2-7n)<140(2n-1)(2n-3)\mathrm{.}$$

Разворачиваем и упрощаем:

$$500n^2-700n<140(4n^2-6n-2n+3)\mathrm{.}$$$$500n^2-700n<560n^2-1120n+420.$$$$-60n^2+420n-420<0.$$$$n^2-7n+7>0.$$

Решаем квадратное неравенство:

$$D=7^2-4\cdot 7=49-28=21,$$$$n_1=\frac{7-\sqrt{21}}{2}\approx 1.2,n_2=\frac{7+\sqrt{21}}{2}\approx \mathrm{5.7.}$$

Тогда, по свойствам знаков квадратичной функции, получаем, что вероятность станет меньше $0.35$ для $n>5.7$, то есть для $n=6$.

Ответ: $n=6$.