ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Какова вероятность того, что при трех бросаниях монеты:

a) ни разу не выпадет «орел»;

б) ни разу не выпадет «решка»;

в) «орел» выпадет ровно один раз;

г) «решка» выпадет хотя бы один раз?

Монету бросают три раза:

а) Вероятность, что ни разу не выпадет орел:
$P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0,125;$

б) Вероятность, что ни разу не выпадет решка:
$P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0,125;$

в) Вероятность, что орел выпадет ровно один раз:
$N(A) = \{\text{PPO}; \text{POP}; \text{OPP}\} = 3;$
$N = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8;$
$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{3}{8} = 0,375;$

г) Вероятность, что решка выпадет хотя бы один раз:
$\overline{P} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = 0,125;$
$P = 1 — \overline{P} = 1 — 0,125 = 0,875;$

Ответ: а) $0,125$; б) $0,125$; в) $0,375$; г) $0,875$.

Мы будем бросать монету 3 раза, и нужно найти вероятность для разных случаев. Мы будем использовать принцип вероятностей для независимых событий, предполагая, что монета является честной (вероятность выпадения орела $P(\text{О}) = 0,5$ и вероятность выпадения решки $P(\text{Р}) = 0,5$).

а) Вероятность, что ни разу не выпадет «орел»

Для этого случая мы хотим, чтобы все три броска дали решку. Вероятность выпадения решки на одном броске равна $P(\text{Р}) = 0,5$. Поскольку броски независимы, вероятность того, что на каждом из трех бросков выпадет решка, равна произведению вероятностей:

$$P(\text{решка на всех 3 бросках}) = P(\text{Р}) \cdot P(\text{Р}) \cdot P(\text{Р}) = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = \frac{1}{8}.$$

Ответ: вероятность того, что ни разу не выпадет орел, составляет $0,125$.

б) Вероятность, что ни разу не выпадет «решка»

В этом случае нам нужно, чтобы на всех трех бросках выпал орел. Аналогично предыдущему случаю, вероятность того, что на каждом броске выпадет орел, равна $P(\text{О}) = 0,5$. Вероятность выпадения орла на всех трех бросках:

$$P(\text{орел на всех 3 бросках}) = P(\text{О}) \cdot P(\text{О}) \cdot P(\text{О}) = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = \frac{1}{8}.$$

Ответ: вероятность того, что ни разу не выпадет решка, составляет $0,125$.

в) Вероятность, что «орел» выпадет ровно один раз

Для этого случая нам нужно, чтобы орел выпал ровно на одном из трех бросков. Мы рассмотрим все возможные комбинации из трех бросков, где ровно один раз выпадает орел, а два раза решка.

Все возможные исходы трех бросков могут быть записаны в виде последовательностей из букв «О» (орел) и «Р» (решка). Для того чтобы орел выпал ровно один раз, возможные последовательности следующие:

$$\text{PPO}, \text{POP}, \text{OPP}.$$

Здесь есть 3 таких последовательности. Вероятность каждой из этих последовательностей равна:

$$P(\text{PPO}) = P(\text{О}) \cdot P(\text{Р}) \cdot P(\text{Р}) = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = \frac{1}{8},$$

и так же для других последовательностей. Таким образом, вероятность того, что орел выпадет ровно один раз, равна сумме вероятностей всех таких исходов:

$$P(\text{орел ровно 1 раз}) = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = 0,375.$$

Ответ: вероятность того, что орел выпадет ровно один раз, составляет $0,375$.

г) Вероятность, что «решка» выпадет хотя бы один раз

Для того чтобы решка выпала хотя бы один раз, нужно рассмотреть противоположное событие — что на всех трех бросках выпадет орел. Если на всех трех бросках выпадет орел, то решка не выпадет ни разу. Вероятность того, что на всех трех бросках выпадет орел, мы уже нашли в пункте б):

$$P(\text{орел на всех 3 бросках}) = \frac{1}{8}.$$

Теперь, вероятность того, что хотя бы один раз выпадет решка, будет равна дополнению к вероятности того, что не выпадет ни одной решки (то есть все три броска дадут орел):

$$P(\text{хотя бы 1 решка}) = 1 — P(\text{не выпадет ни одной решки}) = 1 — \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0,875.$$

Ответ: вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз, составляет $0,875$.

Итоговые ответы:

а) $0,125$;
б) $0,125$;
в) $0,375$;
г) $0,875$.