ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите задачу 49.23 для четырех бросаний монеты.

Монету бросают четыре раза:

а) Вероятность, что ни разу не выпадет орел:
$P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} = 0,0625;$

б) Вероятность, что ни разу не выпадет решка:
$P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} = 0,0625;$

в) Вероятность, что орел выпадет ровно один раз:
$N(A) = \{PPPO; RPOP; POPP; ORPP\} = 4;$
$N = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16;$
$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{4}{16} = 0,25;$

г) Вероятность, что решка выпадет хотя бы один раз:
$\overline{P} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} = 0,0625;$
$P = 1 — \overline{P} = 1 — 0,0625 = 0,9375;$

Ответ: а) 0,0625; б) 0,0625; в) 0,25; г) 0,9375.

Рассмотрим задачу для четырех бросков монеты. Мы будем использовать основные принципы теории вероятностей для независимых событий.

Предположим, что монета честная, и вероятность выпадения орла или решки на каждом броске составляет:

$$P(\text{О}) = P(\text{Р}) = 0,5.$$

Теперь перейдем к решению.

а) Вероятность, что ни разу не выпадет орел

Для того чтобы на всех четырех бросках не выпал орел, на каждом броске должна выпасть решка. Так как вероятность выпадения решки на каждом броске равна $P(\text{Р}) = 0,5$, то вероятность того, что на всех четырех бросках выпадет решка, будет равна произведению вероятностей для каждого броска:

$$P(\text{не выпадет орел})=P(\text{Р})\cdot P(\text{Р})\cdot P(\text{Р})\cdot P(\text{Р})=$$

$$P(\text{не выпадет орел}) = P(\text{Р}) \cdot P(\text{Р}) \cdot P(\text{Р}) \cdot P(\text{Р}) = \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{16}.$$

Таким образом, вероятность того, что на всех четырех бросках не выпадет орел, составляет:

$$P = \frac{1}{16} = 0,0625.$$

б) Вероятность, что ни разу не выпадет решка

Для того чтобы на всех четырех бросках не выпала решка, на каждом броске должен выпасть орел. Поскольку вероятность выпадения орела на одном броске также составляет $P(\text{О}) = 0,5$, то вероятность того, что на всех четырех бросках выпадет только орел, будет равна:

$$P(\text{не выпадет решка})=P(\text{О})\cdot P(\text{О})\cdot P(\text{О})\cdot P(\text{О})=$$

$$P(\text{не выпадет решка}) = P(\text{О}) \cdot P(\text{О}) \cdot P(\text{О}) \cdot P(\text{О}) = \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{16}.$$

Таким образом, вероятность того, что на всех четырех бросках не выпадет решка, составляет:

$$P = \frac{1}{16} = 0,0625.$$

в) Вероятность, что орел выпадет ровно один раз

Чтобы орел выпал ровно один раз за четыре броска, нужно, чтобы одна из четырех позиций заняла орел, а остальные три – решки. Это событие можно описать как выбор одной позиции для орела среди четырех возможных, что соответствует комбинациям с одним орлом в последовательности из четырех бросков.

Всего существует $4$ таких комбинации:

$$\text{ОРРР}, \text{РОРР}, \text{РРОР}, \text{РРРО}.$$

Каждая из этих последовательностей имеет вероятность $P(\text{О}) \cdot P(\text{Р}) \cdot P(\text{Р}) \cdot P(\text{Р}) = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = \frac{1}{16}$. Поскольку существует 4 такие комбинации, то общая вероятность того, что орел выпадет ровно один раз, равна:

$$P(\text{орел один раз}) = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = 0,25.$$

Таким образом, вероятность того, что орел выпадет ровно один раз, составляет:

$$P = 0,25.$$

г) Вероятность, что решка выпадет хотя бы один раз

Для того чтобы решка выпала хотя бы один раз, можно рассматривать противоположное событие — что решка не выпадет вообще, то есть все четыре броска дадут орел. Мы уже вычислили вероятность того, что на всех четырех бросках выпадет орел (и не выпадет решка) в пункте б):

$$P(\text{не выпадет решка}) = \frac{1}{16}.$$

Теперь, вероятность того, что хотя бы один раз выпадет решка, будет равна дополнению к вероятности того, что не выпадет ни одной решки (все броски дадут орел):

$$P(\text{хотя бы 1 решка}) = 1 — P(\text{не выпадет решка}) = 1 — \frac{1}{16} = \frac{15}{16} = 0,9375.$$

Таким образом, вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз, составляет:

$$P = 0,9375.$$

Итоговые ответы:

а) $0,0625$;
б) $0,0625$;
в) $0,25$;
г) $0,9375$.