ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Какова вероятность того, что при $n$ бросаниях монеты решка выпадет хотя бы один раз?

б) Как изменяется эта вероятность с изменением $n$?

в) Найдите предел этой вероятности при $n \to \infty$.

г) При каком наименьшем $n$ вероятность появления хотя бы одной решки будет больше 0,999?

Монету бросают $n$ раз;

а) Вероятность, что решка выпадет хотя бы один раз:

$$\overline{P} = \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{2^n} = 2^{-n};$$ $$P = 1 — \overline{P} = 1 — 2^{-n};$$

б) Определим изменение вероятности с изменением $n$:

$$P(n) = 1 — 2^{-n} = 1 — \frac{1}{2^n};$$

Если число $n$ увеличивается, то $\frac{1}{2^n}$ уменьшается;
Значит вероятность монотонно возрастает;
Ответ: возрастает.

в) Предел вероятности при $n \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} 1 — \frac{1}{2^n} = 1 — \frac{1}{\infty} = 1 — 0 = 1;$$

Ответ: 1.

г) Наименьшее $n$, начиная с которого вероятность появления хотя бы одной решки будет больше 0,999:

$$1 — \frac{1}{2^n} > 0,999;$$ $$\frac{1}{2^n} < 0,001;$$ $$\frac{1}{2^n} < \frac{1}{1000};$$ $$2^n > 1000, \text{ отсюда } n > 9;$$

Ответ: $n = 10$.

Монету бросают $n$ раз;

а) Вероятность, что решка выпадет хотя бы один раз:

При каждом броске монеты вероятность выпадения решки составляет $\frac{1}{2}$, а вероятность выпадения орел (не решка) также составляет $\frac{1}{2}$.

Теперь, чтобы найти вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз при $n$ бросках, нужно сначала найти вероятность противоположного события — что решка не выпадет вообще ни разу. Это будет вероятность того, что на каждом из $n$ бросков выпадет орел.

Для каждого броска вероятность выпадения орел равна $\frac{1}{2}$, поэтому вероятность того, что орел выпадет во всех $n$ бросках (то есть, ни один раз не выпадет решка), равна:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{2^n} = 2^{-n}$$

Это и есть вероятность того, что решка не выпадет ни разу, то есть $\overline{P}$.

Теперь вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз, будет равна дополнительной вероятности к этому событию:

$$P = 1 — \overline{P} = 1 — 2^{-n}$$

Таким образом, вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз при $n$ бросках, равна:

$$P = 1 — 2^{-n}$$

б) Как изменяется эта вероятность с изменением $n$?

Определим, как изменяется вероятность $P$ с изменением $n$.

Мы имеем выражение для вероятности:

$$P(n) = 1 — 2^{-n} = 1 — \frac{1}{2^n}$$

Если мы увеличиваем значение $n$, то знаменатель $2^n$ будет возрастать, и соответственно дробь $\frac{1}{2^n}$ будет становиться все меньше. Это означает, что выражение $1 — \frac{1}{2^n}$ будет приближаться к единице, но всегда оставаться меньше единицы.

Пример:

• Для $n = 1$, вероятность $P = 1 — 2^{-1} = 1 — 0,5 = 0,5$.
• Для $n = 2$, вероятность $P = 1 — 2^{-2} = 1 — 0,25 = 0,75$.
• Для $n = 3$, вероятность $P = 1 — 2^{-3} = 1 — 0,125 = 0,875$.
• Для $n = 10$, вероятность $P = 1 — 2^{-10} = 1 — 0,0009766 \approx 0,9990234$.

Таким образом, вероятность возрастает с увеличением $n$ и стремится к 1, но никогда не достигает этого значения.

Ответ: вероятность монотонно возрастает с увеличением $n$.

в) Предел этой вероятности при $n \to \infty$:

Теперь найдём предел вероятности $P$ при $n \to \infty$.

Мы имеем выражение для вероятности:

$$P = 1 — 2^{-n}$$

При $n \to \infty$, $2^n$ стремится к бесконечности, и, соответственно, $\frac{1}{2^n}$ стремится к нулю.

Таким образом, предел вероятности $P$ при $n \to \infty$ будет:

$$\lim_{n \to \infty} P = \lim_{n \to \infty} \left( 1 — 2^{-n} \right) = 1 — \lim_{n \to \infty} 2^{-n} = 1 — 0 = 1$$

Ответ: при $n \to \infty$, вероятность стремится к 1.

г) При каком наименьшем $n$ вероятность появления хотя бы одной решки будет больше 0,999?

Нам нужно найти наименьшее $n$, при котором вероятность появления хотя бы одной решки будет больше 0,999, то есть:

$$P = 1 — 2^{-n} > 0,999$$

Преобразуем это неравенство:

$$1 — 2^{-n} > 0,999$$ $$2^{-n} < 0,001$$

Теперь выразим $2^{-n}$ через степень двойки:

$$2^n > \frac{1}{0,001} = 1000$$

Найдем минимальное $n$, для которого $2^n > 1000$. Чтобы решить это неравенство, возьмем логарифм по основанию 2 с обеих сторон:

$$n > \log_2{1000}$$

Используем приближенное значение $\log_2{1000} \approx 9.97$, следовательно, $n$ должно быть больше 9.97. Поскольку $n$ — целое число, минимальное значение $n$ будет равно 10.

Ответ: наименьшее $n$, при котором вероятность появления хотя бы одной решки больше 0,999, это $n = 10$.