ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Три ученика независимо друг от друга написали по одной цифре от 0 до 9. Какова вероятность того, что среди написанных цифр:

a) не будет ни одной цифры 0;

б) будет хотя бы одна цифра 5;

в) не будет ни одной четной цифры;

г) будет хотя бы одна нечетная цифра?

Три ученика записали по одной цифре от 0 до 9;

а) Вероятность, что не будет ни одной цифры 0:
$P = \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{729}{1000} = 0,729;$

б) Вероятность, что будет хотя бы одна цифра 5:
$\overline{P} = \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{729}{1000} = 0,729;$
$P = 1 — \overline{P} = 1 — 0,729 = 0,271;$

в) Вероятность, что не будет ни одной четной цифры:
$P = \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{10} = \frac{125}{1000} = 0,125;$

г) Вероятность, что будет хотя бы одна нечетная цифра:
$\overline{P} = \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{5}{10} = \frac{125}{1000} = 0,125;$
$P = 1 — \overline{P} = 1 — 0,125 = 0,875;$

Ответ: а) 0,729; б) 0,271; в) 0,125; г) 0,875.

Три ученика независимо друг от друга написали по одной цифре от 0 до 9. Необходимо найти вероятность различных событий для написанных цифр.

Обозначим цифры от 0 до 9 как $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

a) Вероятность, что не будет ни одной цифры 0.

Каждый ученик может записать любую цифру от 0 до 9, всего 10 возможных цифр. Чтобы не было цифры 0, каждый ученик может выбрать любую из оставшихся 9 цифр, то есть цифры $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Поскольку выбор каждого ученика независим, вероятность того, что первый ученик не выберет цифру 0, составляет:

$$P_1 = \frac{9}{10}$$

Для второго и третьего ученика аналогичные вероятности:

$$P_2 = \frac{9}{10}, \quad P_3 = \frac{9}{10}$$

Так как события независимы, общая вероятность того, что все три ученика не выберут цифру 0, будет произведением этих вероятностей:

$$P_{\text{не 0}} = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{729}{1000}$$

Ответ: Вероятность, что не будет ни одной цифры 0:

$$P = 0,729$$

б) Вероятность, что будет хотя бы одна цифра 5.

Чтобы найти вероятность того, что хотя бы один из учеников выберет цифру 5, воспользуемся методом дополнительной вероятности. Для этого сначала вычислим вероятность того, что не будет ни одной цифры 5, а затем из единицы вычтем эту вероятность.

Каждый ученик может выбрать любую цифру, кроме 5. То есть у каждого ученика есть 9 возможных цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9$. Вероятность того, что ученик не выберет цифру 5, составляет:

$$P_{\text{не 5}} = \frac{9}{10}$$

Поскольку выборы независимы, вероятность того, что ни один из трех учеников не выберет цифру 5, будет:

$$P_{\text{не 5, все}} = \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{10} = \frac{729}{1000}$$

Теперь вероятность того, что хотя бы один ученик выберет цифру 5, это дополнительное событие, и она равна:

$$P_{\text{хотя бы 5}} = 1 — P_{\text{не 5, все}} = 1 — \frac{729}{1000} = \frac{271}{1000}$$

Ответ: Вероятность, что будет хотя бы одна цифра 5:

$$P = 0,271$$

в) Вероятность, что не будет ни одной четной цифры.

Четные цифры среди $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ — это $0, 2, 4, 6, 8$. То есть всего 5 четных цифр. Если мы хотим, чтобы среди написанных цифр не было ни одной четной, то каждый ученик должен выбрать одну из оставшихся 5 нечетных цифр: $1, 3, 5, 7, 9$.

Вероятность того, что первый ученик не выберет четную цифру:

$$P_1 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$

Для второго и третьего ученика вероятность аналогична:

$$P_2 = \frac{1}{2}, \quad P_3 = \frac{1}{2}$$

Так как события независимы, общая вероятность того, что все три ученика выберут только нечетные цифры:

$$P_{\text{нечетные}} = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

Ответ: Вероятность, что не будет ни одной четной цифры:

$$P = 0,125$$

г) Вероятность, что будет хотя бы одна нечетная цифра.

Здесь снова используем метод дополнительной вероятности. Сначала вычислим вероятность того, что все три ученика выберут только четные цифры, а затем из единицы вычтем эту вероятность.

Каждый ученик может выбрать одну из 5 четных цифр. Вероятность того, что первый ученик выберет четную цифру:

$$P_{\text{четные}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$

Для второго и третьего ученика вероятность аналогична:

$$P_{\text{четные, все}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$

Теперь вероятность того, что хотя бы один ученик выберет нечетную цифру, равна:

$$P_{\text{хотя бы нечетная}} = 1 — P_{\text{четные, все}} = 1 — \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$

Ответ: Вероятность, что будет хотя бы одна нечетная цифра:

$$P = 0,875$$

Итоговые ответы:

а) Вероятность, что не будет ни одной цифры 0: $0,729$

б) Вероятность, что будет хотя бы одна цифра 5: $0,271$

в) Вероятность, что не будет ни одной четной цифры: $0,125$

г) Вероятность, что будет хотя бы одна нечетная цифра: $0,875$