ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Каждый из $n$ учеников независимо друг от друга написал по одной цифре от 0 до 9.

а) Какова вероятность того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5?

б) Как меняется эта вероятность с изменением $n$?

в) Найдите предел этой вероятности при $n \to \infty$.

г) При каком наименьшем $n$ вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности её отсутствия?

Каждый из $n$ учеников записал по одной цифре от 0 до 9;

а) Вероятность, что будет хотя бы одна цифра 5:

$$\overline{P} = \left( \frac{9}{10} \right)^n = 0,9^n;$$ $$P = 1 — \overline{P} = 1 — 0,9^n;$$

б) Определим изменение вероятности с изменением $n$:

$$P(n) = 1 — 0,9^n;$$

Если число $n$ увеличивается, то $0,9^n$ уменьшается;
Значит вероятность монотонно возрастает;
Ответ: возрастает.

в) Предел вероятности при $n \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} 1 — 0,9^n = 1 — 0 = 1;$$

Ответ: 1.

г) Наименьшее $n$, начиная с которого вероятность появления хотя бы одной цифры 5 больше вероятности её отсутствия:

$$1 — 0,9^n > 0,9^n;$$ $$1 > 2 \cdot 0,9^n;$$ $$0.5 > 0,9^n, \text{ отсюда } n > 6;$$

Ответ: $n = 7$.

Каждый из $n$ учеников записал по одной цифре от 0 до 9.

а) Вероятность, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5:

Шаг 1: Рассмотрим, что происходит, если среди цифр нет числа 5.

Каждый ученик записывает одну цифру от 0 до 9, и каждый выбор — это случайная величина, которая принимает значения от 0 до 9, при этом числа 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 (всего 9 цифр) могут быть записаны вместо цифры 5. Таким образом, вероятность того, что один ученик не напишет цифру 5, равна:

$$P(\text{не 5}) = \frac{9}{10}.$$

Шаг 2: Вероятность того, что все $n$ учеников не напишут цифру 5.

Поскольку ученики записывают свои цифры независимо, вероятность того, что ни один из $n$ учеников не напишет цифру 5, равна:

$$\overline{P} = \left(\frac{9}{10}\right)^n = 0,9^n.$$

Шаг 3: Вероятность того, что хотя бы один ученик напишет цифру 5.

Вероятность того, что хотя бы один ученик из $n$ напишет цифру 5, это противоположное событие для случая, когда все ученики пишут цифры, отличные от 5. Поэтому вероятность того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5, равна:

$$P = 1 — \overline{P} = 1 — 0,9^n.$$

б) Как изменяется эта вероятность с изменением $n$?

Шаг 1: Функция вероятности.

Мы уже нашли, что вероятность того, что хотя бы один ученик напишет цифру 5, выражается через функцию:

$$P(n) = 1 — 0,9^n.$$

Шаг 2: Анализ функции $P(n)$.

Теперь давайте проанализируем, как изменяется эта вероятность с изменением $n$. Заметим, что:

$$0,9^n \quad \text{уменьшается с увеличением} \quad n.$$

Это связано с тем, что $0,9^n$ — это экспоненциально убывающая функция. То есть, чем больше $n$, тем меньше значение $0,9^n$. Соответственно, вероятность $P(n) = 1 — 0,9^n$ монотонно возрастает.

Шаг 3: Итог.

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один ученик напишет цифру 5, с увеличением числа $n$ монотонно возрастает.

Ответ: Вероятность возрастает с увеличением $n$.

в) Найдите предел этой вероятности при $n \to \infty$:

Шаг 1: Найдём предел функции $P(n)$ при $n \to \infty$.

Мы имеем выражение для вероятности:

$$P(n) = 1 — 0,9^n.$$

При $n \to \infty$ экспоненциально убывающее выражение $0,9^n$ стремится к 0, так как $0 < 0,9 < 1$. Таким образом:

$$\lim_{n \to \infty} 0,9^n = 0.$$

Следовательно, предел вероятности:

$$\lim_{n \to \infty} P(n) = 1 — 0 = 1.$$

Ответ: Предел вероятности при $n \to \infty$ равен 1.

г) При каком наименьшем $n$ вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности её отсутствия?

Шаг 1: Условие задачи.

Нам нужно найти наименьшее $n$, при котором вероятность того, что хотя бы одна цифра 5 будет записана, больше вероятности того, что ни одна цифра 5 не будет записана.

Это можно записать как неравенство:

$$P > \overline{P},$$

где $P = 1 — 0,9^n$ — вероятность того, что хотя бы один ученик напишет цифру 5, и $\overline{P} = 0,9^n$ — вероятность того, что никто не напишет цифру 5.

Подставляем в неравенство:

$$1 — 0,9^n > 0,9^n.$$

Шаг 2: Решение неравенства.

Переносим все члены с $0,9^n$ на одну сторону:

$$1 > 2 \cdot 0,9^n.$$

Теперь делим обе части на 2:

$$0.5 > 0,9^n.$$

Шаг 3: Находим наименьшее $n$.

Нам нужно найти наименьшее $n$, при котором выполняется неравенство $0.5 > 0,9^n$. Для этого возьмём логарифм обеих частей неравенства:

$$\log(0.5) > \log(0,9^n).$$

Используем свойства логарифмов:

$$\log(0.5) > n \cdot \log(0,9).$$

Поскольку $\log(0,9)$ отрицательно, при делении на него знак неравенства поменяется:

$$n > \frac{\log(0.5)}{\log(0,9)}.$$

Шаг 4: Вычисление значения.

Теперь подставим числовые значения:

$$\log(0.5) \approx -0.3010, \quad \log(0,9) \approx -0.0458.$$

Тогда:

$$n > \frac{-0.3010}{-0.0458} \approx 6.57.$$

Так как $n$ должно быть целым числом, наименьшее $n$, при котором выполняется неравенство, равно 7.

Ответ: Наименьшее $n$, начиная с которого вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности её отсутствия, равно $n = 7$.