ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Буквы русского алфавита написаны на карточках. Вы случайно вытаскиваете одну карточку, читаете букву, возвращаете карточку и повторяете выбор. Как только появится гласная буква — процедура заканчивается. (В русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных.)

а) Какова вероятность того, что никаких повторений не потребуется?

б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений?

в) Какова вероятность того, что хватит именно $n$ повторений?

г) Найдите предел этой вероятности при $n \to \infty$.

Вытаскивают по одной карточке из 33 с буквами алфавита и кладут обратно, до тех пор пока не будет вытащена гласная буква;

Гласные буквы содержат 10 карточек;

Согласные буквы содержат 23 карточки;

а) Вероятность вытащить гласную букву с первого раза:

$$P_1 = \frac{10}{33} = 0,303;$$

б) Вероятность вытащить гласную букву со второго раза:

$$P_2 = \frac{23}{33} \cdot \frac{10}{33} = \frac{230}{1089} = 0,211;$$

в) Вероятность вытащить гласную букву с $n$-го раза:

$$P_n = \left( \frac{23}{33} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{10}{33} \right);$$

г) Предел вероятности при $n \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{23}{33} \right)^{n-1} \cdot \left( \frac{10}{33} \right) = 0 \cdot \frac{10}{33} = 0;$$

Ответ: 0.

У нас есть 33 карточки с буквами русского алфавита:

• 10 гласных букв (предположим, что это: А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я).
• 23 согласные буквы.

Мы вытаскиваем по одной карточке, смотрим, что на ней написано, возвращаем её обратно в стопку и повторяем процесс, пока не вытянем гласную букву. Нужно найти вероятности для нескольких событий, связанных с количеством попыток.

а) Вероятность вытащить гласную букву с первого раза

Обоснование:

1. Из 33 карточек 10 — это гласные.
2. Вероятность того, что на первой вытянутой карточке окажется гласная буква, равна отношению количества гласных к общему количеству карточек.

Вычисления:

$$P_1 = \frac{10}{33}$$

В результате, вероятность того, что гласная будет вытянута с первого раза:

$$P_1 = 0,303$$

б) Вероятность вытащить гласную букву со второго раза

Обоснование:

1. Чтобы на второй попытке вытянуть гласную букву, необходимо, чтобы на первой попытке была вытянута согласная (то есть, не гласная).
2. Вероятность того, что на первой вытянутой карточке будет согласная: $\frac{23}{33}$, так как всего 23 согласные буквы.
3. После того как вытянута согласная буква, вероятность того, что на второй вытянутой карточке будет гласная: $\frac{10}{33}$, поскольку общее количество карточек не изменилось (мы возвращаем карточки обратно).

Вычисления:

$$P_2 = \frac{23}{33} \cdot \frac{10}{33} = \frac{230}{1089}$$

В результате:

$$P_2 \approx 0,211$$

в) Вероятность вытащить гласную букву с $n$-го раза

Обоснование:

1. Для того чтобы вытянуть гласную на $n$-й раз, необходимо, чтобы на первых $n-1$ попытках вытягивались согласные буквы, а на $n$-й — гласная.
2. Вероятность того, что на каждой из первых $n-1$ попыток будет вытянута согласная буква, равна $\frac{23}{33}$.
3. На $n$-й попытке должна быть вытянута гласная, вероятность этого — $\frac{10}{33}$.

Таким образом, общая вероятность вытащить гласную на $n$-й раз — это произведение вероятностей того, что на первых $n-1$ попытках будут согласные, и того, что на $n$-й будет гласная.

Формула для $P_n$:

$$P_n = \left( \frac{23}{33} \right)^{n-1} \cdot \frac{10}{33}$$

Эта формула учитывает, что на первых $n-1$ попытках мы должны вытянуть согласные, а на $n$-й — гласную.

г) Предел вероятности при $n \to \infty$

Обоснование:

Когда $n$ стремится к бесконечности, вероятность вытащить гласную с $n$-й попытки будет стремиться к нулю. Это связано с тем, что на каждой следующей попытке вероятность вытянуть согласную (не гласную) всё меньше и меньше, и результат этого произведения будет уменьшаться.

Формально это можно выразить через предел:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{23}{33} \right)^{n-1} \cdot \frac{10}{33}$$

Поскольку $\frac{23}{33}$ меньше 1, то при $n \to \infty$ выражение $\left( \frac{23}{33} \right)^{n-1}$ стремится к 0. Таким образом, весь продукт будет стремиться к 0.

Решение:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{23}{33} \right)^{n-1} \cdot \frac{10}{33} = 0$$

Ответ:

• Вероятность вытащить гласную с первого раза: $P_1 = 0,303$
• Вероятность вытащить гласную со второго раза: $P_2 \approx 0,211$
• Общая вероятность вытащить гласную с $n$-го раза: $P_n = \left( \frac{23}{33} \right)^{n-1} \cdot \frac{10}{33}$
• Предел вероятности при $n \to \infty$: 0