ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Стрелок не очень меток: вероятность того, что он попадёт в мишень одним выстрелом, равна всего 0,1. Независимо от предыдущих промахов он повторяет выстрелы до первого попадания и после этого прекращает стрельбу.

а) Какова вероятность $p(n)$ того, что ему хватит именно $n$ выстрелов?

б) Найдите предел этой вероятности при $n \to \infty$.

в) Численные результаты для $n = 1, 2, 3, \ldots, 7$ соберите в таблицу.

г) Найдите предел суммы $p(1) + p(2) + \ldots + p(n)$ при $n \to \infty$.

Стрелок повторяет выстрелы до первого попадания;

Вероятность попасть в мишень равна $p = 0,1$;

а) Вероятность, что стрелок попадет в мишень с $n$-го раза:

$P_n = (\overline{p})^{n-1} \cdot p = (1 — 0,1)^{n-1} \cdot 0,1 = 0,9^{n-1} \cdot 0,1;$

б) Предел вероятности при $n \to \infty$:

$\lim_{x \to \infty} 0,9^{n-1} \cdot 0,1 = 0 \cdot 0,1 = 0;$
Ответ: $0$.

в) Таблица результатов:

$P(1) = 0,9^0 \cdot 0,1 = 0,1;$
$P(2) = 0,9^1 \cdot 0,1 = 0,09;$
$P(3) = 0,9^2 \cdot 0,1 = 0,081;$
$P(4) = 0,9^3 \cdot 0,1 = 0,0729;$
$P(5) = 0,9^4 \cdot 0,1 = 0,06561;$
$P(6) = 0,9^5 \cdot 0,1 = 0,059049;$
$P(7) = 0,9^6 \cdot 0,1 = 0,0531441;$

г) Предел суммы $p(1) + p(2) + \cdots + p(n)$ при $n \to \infty$:

Имеем геометрическую прогрессию, в которой:
$b_1 = 0,1 \quad \text{и} \quad q = 0,9;$
$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{0,1}{1 — 0,9} = \frac{0,1}{0,1} = 1;$

Ответ: $1$.

Стрелок повторяет выстрелы до первого попадания;

Вероятность попасть в мишень равна $p = 0,1$.

а) Вероятность, что стрелок попадет в мишень с $n$-го раза

Стрелок повторяет выстрелы, пока не попадет в мишень. Следовательно, для того чтобы стрелок попал в мишень с $n$-го выстрела, необходимо:

1. Он должен промахнуться на первых $n-1$ выстрелах.
2. Он должен попасть в мишень с $n$-го выстрела.

Поскольку вероятность промаха на каждом выстреле составляет $1 — p = 0,9$, то вероятность промаха на первых $n-1$ выстрелах равна $(0,9)^{n-1}$.

После этого стрелок должен попасть в мишень на $n$-м выстреле, вероятность чего равна $p = 0,1$.

Итак, общая вероятность того, что стрелок попадет в мишень именно с $n$-го выстрела, будет:

$$P_n = (0,9)^{n-1} \cdot 0,1$$

Где:

• $(0,9)^{n-1}$ — вероятность того, что стрелок промахнется на первых $n-1$ выстрелах.
• $0,1$ — вероятность попадания на $n$-м выстреле.

Таким образом, вероятность попадания с $n$-го выстрела выражается формулой:

$$P_n = 0,9^{n-1} \cdot 0,1$$

б) Предел вероятности при $n \to \infty$

Теперь нам нужно найти предел вероятности того, что стрелок попадет в мишень с $n$-го выстрела при $n \to \infty$.

Посмотрим на выражение для $P_n$:

$$P_n = 0,9^{n-1} \cdot 0,1$$

Когда $n$ стремится к бесконечности, $0,9^{n-1}$ будет стремиться к 0, так как $0,9 < 1$ и степень с большим $n$ будет все больше уменьшать значение этого выражения.

$$\lim_{n \to \infty} 0,9^{n-1} = 0$$

Следовательно, предел всей вероятности будет:

$$\lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} 0,9^{n-1} \cdot 0,1 = 0 \cdot 0,1 = 0$$

Ответ: $0$.

в) Таблица результатов для $n = 1, 2, 3, \ldots, 7$

Теперь мы можем вычислить значения вероятности $p(n)$ для конкретных значений $n$ от 1 до 7. Подставим значения $n$ в формулу для $P_n = 0,9^{n-1} \cdot 0,1$:

Для $n = 1$:

$$P(1) = 0,9^0 \cdot 0,1 = 1 \cdot 0,1 = 0,1$$

Для $n = 2$:

$$P(2) = 0,9^1 \cdot 0,1 = 0,9 \cdot 0,1 = 0,09$$

Для $n = 3$:

$$P(3) = 0,9^2 \cdot 0,1 = 0,81 \cdot 0,1 = 0,081$$

Для $n = 4$:

$$P(4) = 0,9^3 \cdot 0,1 = 0,729 \cdot 0,1 = 0,0729$$

Для $n = 5$:

$$P(5) = 0,9^4 \cdot 0,1 = 0,6561 \cdot 0,1 = 0,06561$$

Для $n = 6$:

$$P(6) = 0,9^5 \cdot 0,1 = 0,59049 \cdot 0,1 = 0,059049$$

Для $n = 7$:

$$P(7) = 0,9^6 \cdot 0,1 = 0,531441 \cdot 0,1 = 0,0531441$$

Теперь можно оформить эти результаты в таблицу:

г) Предел суммы $p(1) + p(2) + \cdots + p(n)$ при $n \to \infty$

Теперь нам нужно найти предел суммы вероятностей $p(1) + p(2) + \cdots + p(n)$ при $n \to \infty$. Это можно интерпретировать как сумму всех вероятностей, что стрелок попадет в мишень за $1$, $2$, $3$ и так далее выстрелов.

Здесь мы видим, что эта сумма образует геометрическую прогрессию, где первый член $b_1 = 0,1$, а знаменатель прогрессии $q = 0,9$.

Для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q}$$

Когда $n \to \infty$, мы имеем:

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{b_1}{1 — q}$$

Подставим значения $b_1 = 0,1$ и $q = 0,9$:

$$S = \frac{0,1}{1 — 0,9} = \frac{0,1}{0,1} = 1$$

Ответ: $1$.$1$