ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Два ученика независимо друг от друга написали по одному двузначному натуральному числу. Найдите вероятность того, что:

a) эти два числа различны между собой;

б) сумма чисел равна 100;

в) сумма чисел не больше 25;

г) сумма чисел больше 190.

Выбирают два случайных двузначных натуральных числа;

Всего таких чисел: $N_1 = 99 — 10 + 1 = 90$;

Различных комбинаций: $N = N_1 \cdot N_1 = 90^2 = 8100$;

а) Вероятность, что эти числа различны между собой:

$N(A) = 90 — 1 = 89$;

$P = \frac{N(A)}{N_1} = \frac{89}{90} = 0,989$;

б) Вероятность, что сумма этих чисел равна 100:

$N(A) = 90 — (99 — 90) = 90 — 9 = 81$;

$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{81}{8100} = 0,01$;

в) Вероятность, что сумма чисел не больше 25:

$N_2 = (25 — 10 + 1) — 10 = 16 — 10 = 6$;

$N(A) = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$;

$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{21}{8100} = 0,0026$;

г) Вероятность, что сумма чисел больше 190:

$N_2 = 99 — (190 — 99) = 99 — 91 = 8$;

$N(A) = 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$;

$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{36}{8100} = 0,0044$;

Ответ: а) 0,989; б) 0,01; в) 0,0026; г) 0,0044.

Важные замечания:

1. Двузначные натуральные числа — это числа от 10 до 99 включительно.
2. Всего чисел: от 10 до 99 — это 90 чисел, то есть $N_1 = 90$.
3. Общее количество возможных сочетаний чисел, которые могут выбрать два ученика, составляет $N = 90 \times 90 = 8100$, так как каждый ученик может выбрать одно из 90 чисел, а выборы независимы.

Теперь подробно разберем каждый пункт задачи.

a) Вероятность того, что два числа различны между собой

Для того чтобы два числа были различными, нужно, чтобы первое число отличалось от второго. Количество способов, при которых оба числа различны, равно:

• Если первый ученик выбирает число, то у второго ученика остается 89 возможных чисел для выбора, чтобы оно не совпало с числом первого ученика.
• То есть, количество благоприятных исходов, когда числа различны, равно $90 \times 89 = 8010$.

Теперь вычислим вероятность. Общее количество возможных исходов — это 8100, а количество благоприятных исходов (когда числа различны) — 8010.

Итак, вероятность того, что два числа различны:

$$P(\text{различны}) = \frac{8010}{8100} = \frac{89}{90} \approx 0,989$$

Ответ для пункта a): $0,989$.

б) Вероятность того, что сумма чисел равна 100

Для того чтобы сумма чисел равнялась 100, нам нужно найти все такие пары чисел, сумма которых равна 100. Пусть первое число равно $x$, тогда второе число будет равно $100 — x$.

Рассмотрим все возможные значения $x$, для которых $10 \leq x \leq 99$ и $100 — x$ также является двузначным числом. Пара чисел $x$ и $100 — x$ будет подходить, если $10 \leq 100 — x \leq 99$, что ограничивает $x$ следующим образом:

$$10 \leq x \leq 90$$

Таким образом, $x$ может быть любым числом от 10 до 90 включительно, и для каждого $x$ существует одно число $100 — x$. Это дает 81 подходящую пару чисел.

Теперь находим вероятность, что сумма чисел равна 100. Общее количество всех возможных исходов равно 8100, а количество благоприятных исходов (когда сумма равна 100) равно 81.

Итак, вероятность того, что сумма чисел равна 100:

$$P(\text{сумма} = 100) = \frac{81}{8100} = 0,01$$

Ответ для пункта б): $0,01$.

в) Вероятность того, что сумма чисел не больше 25

Для того чтобы сумма чисел была не больше 25, рассмотрим все такие пары чисел, сумма которых меньше или равна 25. Пусть первое число равно $x$, тогда второе число будет равно $y$, и нам нужно, чтобы:

$$x + y \leq 25$$

Рассмотрим все возможные значения $x$ от 10 до 99 и для каждого значения $x$ найдем все подходящие значения $y$, такие что $x + y \leq 25$. При этом и $y$, и $x$ должны быть двузначными числами.

1. Для $x = 10$ возможные значения $y$ такие, что $10 + y \leq 25$, то есть $y \leq 15$, и $y$ может быть любым числом от 10 до 15, т.е. 6 вариантов.
2. Для $x = 11$ возможные значения $y$ такие, что $11 + y \leq 25$, то есть $y \leq 14$, и $y$ может быть любым числом от 10 до 14, т.е. 5 вариантов.
3. Для $x = 12$ возможные значения $y$ такие, что $12 + y \leq 25$, то есть $y \leq 13$, и $y$ может быть любым числом от 10 до 13, т.е. 4 варианта.
4. Для $x = 13$ возможные значения $y$ такие, что $13 + y \leq 25$, то есть $y \leq 12$, и $y$ может быть любым числом от 10 до 12, т.е. 3 варианта.
5. Для $x = 14$ возможные значения $y$ такие, что $14 + y \leq 25$, то есть $y \leq 11$, и $y$ может быть любым числом от 10 до 11, т.е. 2 варианта.
6. Для $x = 15$ возможное значение $y = 10$, т.е. 1 вариант.

Таким образом, количество благоприятных исходов:

$$6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$$

Теперь находим вероятность того, что сумма чисел не больше 25. Общее количество всех возможных исходов равно 8100, а количество благоприятных исходов (когда сумма чисел не больше 25) равно 21.

Итак, вероятность того, что сумма чисел не больше 25:

$$P(\text{сумма} \leq 25) = \frac{21}{8100} \approx 0,0026$$

Ответ для пункта в): $0,0026$.

г) Вероятность того, что сумма чисел больше 190

Для того чтобы сумма чисел была больше 190, рассмотрим все такие пары чисел, сумма которых больше 190. Пусть первое число равно $x$, тогда второе число будет равно $y$, и нам нужно, чтобы:

$$x + y > 190$$

Рассмотрим все возможные значения $x$ от 10 до 99 и для каждого значения $x$ найдем все подходящие значения $y$, такие что $x + y > 190$.

1. Для $x = 99$ возможные значения $y$ такие, что $99 + y > 190$, то есть $y > 91$, и $y$ может быть любым числом от 92 до 99, т.е. 8 вариантов.
2. Для $x = 98$ возможные значения $y$ такие, что $98 + y > 190$, то есть $y > 92$, и $y$ может быть любым числом от 93 до 99, т.е. 7 вариантов.
3. Для $x = 97$ возможные значения $y$ такие, что $97 + y > 190$, то есть $y > 93$, и $y$ может быть любым числом от 94 до 99, т.е. 6 вариантов.
4. Для $x = 96$ возможные значения $y$ такие, что $96 + y > 190$, то есть $y > 94$, и $y$ может быть любым числом от 95 до 99, т.е. 5 вариантов.
5. Для $x = 95$ возможные значения $y$ такие, что $95 + y > 190$, то есть $y > 95$, и $y$ может быть любым числом от 96 до 99, т.е. 4 варианта.
6. Для $x = 94$ возможные значения $y$ такие, что $94 + y > 190$, то есть $y > 96$, и $y$ может быть любым числом от 97 до 99, т.е. 3 варианта.
7. Для $x = 93$ возможные значения $y$ такие, что $93 + y > 190$, то есть $y > 97$, и $y$ может быть любым числом от 98 до 99, т.е. 2 варианта.
8. Для $x = 92$ возможное значение $y = 99$, т.е. 1 вариант.

Таким образом, количество благоприятных исходов:

$$8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$$

Теперь находим вероятность того, что сумма чисел больше 190. Общее количество всех возможных исходов равно 8100, а количество благоприятных исходов (когда сумма чисел больше 190) равно 36.

Итак, вероятность того, что сумма чисел больше 190:

$$P(\text{сумма} > 190) = \frac{36}{8100} \approx 0,0044$$

Ответ для пункта г): $0,0044$.

Ответы:

а) $0,989$

б) $0,01$

в) $0,0026$

г) $0,0044$