ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Из значений n! для n = 1, 2, 3,…, 25 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число:

a) меньше миллиона;

б) больше миллиарда;

в) делится на миллион;

г) не делится на тысячу.

Из значений $n!$ для $n = 1, 2, 3, \ldots, 25$ случайно выбирают одно число;

а) Вероятность, что это число меньше миллиона:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 362 \, 880 < 1 \, 000 \, 000;$
$P = \frac{9}{25} = 0,36;$

б) Вероятность, что это число больше миллиарда:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 = 6 \, 227 \, 020 \, 800 > 10^9;$
$P = \frac{13}{25} = 0,52;$

в) Вероятность, что это число делится на миллион:
$a = 25!$
$5^1 = \{25; 20; 15; 10; 5\} = 5;$
$5^2 = \{25\} = 1;$
$A = 5 + 1 = 6 — \text{только одно число имеет 6 нулей};$
$P = \frac{1}{25} = 0,04;$

г) Вероятность, что это число не делится на тысячу:
$a = 15!$
$5^1 = \{15; 10; 5\} = 3;$
$5^2 = \{-\} = 0;$
$A = 3 + 0 = 3 — \text{у всех чисел, начиная с 15, есть 3 нуля};$
$P = \frac{14}{25} = 0,56;$

Ответ: а) 0,36; б) 0,52; в) 0,04; г) 0,56.

Из значений $n!$ для $n = 1, 2, 3, \ldots, 25$ случайно выбирают одно число. Нужно найти вероятность того, что это число:

а) меньше миллиона;
б) больше миллиарда;
в) делится на миллион;
г) не делится на тысячу.

Часть 1: Вычисление факториалов

Рассмотрим факториалы для значений $n = 1, 2, 3, \ldots, 25$. Мы будем вычислять факториал поочередно для каждого значения $n$. Это можно сделать с помощью формулы факториала:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$$

Важно понимать, что с увеличением $n$ факториал быстро растет, и его значения становятся очень большими. Мы будем использовать это свойство для определения вероятности.

Часть 2: Разбор каждого вопроса

а) Вероятность, что число меньше миллиона

Нам нужно найти, при каких значениях $n!$ факториал меньше миллиона ($1{,}000{,}000$).

• $1! = 1$
• $2! = 2$
• $3! = 6$
• $4! = 24$
• $5! = 120$
• $6! = 720$
• $7! = 5{,}040$
• $8! = 40{,}320$
• $9! = 362{,}880$

Для $n = 9$ значение $9! = 362{,}880$ меньше миллиона, но уже для $10! = 3{,}628{,}800$ факториал становится больше миллиона.

Значит, чисел, для которых факториал меньше миллиона — это $n = 1, 2, 3, \dots, 9$.

Количество таких чисел — 9.

Теперь находим вероятность:

$$P(\text{меньше миллиона}) = \frac{9}{25} = 0,36$$

б) Вероятность, что число больше миллиарда

Нам нужно найти, при каких значениях $n!$ факториал больше миллиарда ($1{,}000{,}000{,}000$).

• $12! = 479{,}001{,}600$
• $13! = 6{,}227{,}020{,}800$

Для $n = 13$ факториал уже больше миллиарда, и все последующие значения $n!$ также будут больше миллиарда.

Значит, числа, для которых факториал больше миллиарда — это $n = 13, 14, \dots, 25$.

Количество таких чисел — 13.

Теперь находим вероятность:

$$P(\text{больше миллиарда}) = \frac{13}{25} = 0,52$$

в) Вероятность, что число делится на миллион

Для того чтобы число делилось на миллион, в его разложении должны быть хотя бы 6 нулей (то есть как минимум шесть множителей 2 и 5, так как $10 = 2 \cdot 5$, и $10^6 = 2^6 \cdot 5^6$).

Мы будем искать такие факториалы $n!$, которые содержат хотя бы 6 нулей в конце.

Для этого надо проверить количество делителей 5 в каждом факториале, поскольку количество делителей 5 определяет количество нулей на конце числа.

Алгоритм нахождения количества делителей 5 в факториале:

1. Находим количество чисел, делящихся на 5: $\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor$.
2. Находим количество чисел, делящихся на $5^2 = 25$: $\left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor$.
3. Повторяем этот процесс для всех степеней 5 до $n$.

Для $n = 25$:

• $\left\lfloor \frac{25}{5} \right\rfloor = 5$ (множители 5: $5, 10, 15, 20, 25$)
• $\left\lfloor \frac{25}{25} \right\rfloor = 1$ (множитель 25: $25$)

Итак, для $25!$ имеется $5 + 1 = 6$ делителей 5, значит, оно делится на $10^6$.

Проверим другие $n!$. Для меньших значений $n!$, количество делителей 5 будет меньше 6, и числа не будут делиться на миллион.

Значит, только $25!$ делится на миллион.

Теперь находим вероятность:

$$P(\text{делится на миллион}) = \frac{1}{25} = 0,04$$

г) Вероятность, что число не делится на тысячу

Чтобы число не делилось на тысячу, в его разложении не должно быть трёх нулей. Для этого проверим, при каких значениях $n!$ факториал не будет содержать 3 нуля в конце.

Используем тот же алгоритм для нахождения количества делителей 5, как в предыдущем пункте.

Для $n = 15$:

• $\left\lfloor \frac{15}{5} \right\rfloor = 3$ (множители 5: $5, 10, 15$)
• $\left\lfloor \frac{15}{25} \right\rfloor = 0$ (множители 25)

Таким образом, для $15!$ имеется только 3 делителя 5, что даёт 3 нуля на конце. Это означает, что $15!$, $16!$, $17!$, …, $25!$ все делятся на тысячу.

Значит, все числа от $1!$ до $14!$ не делятся на тысячу.

Количество таких чисел — 14.

Теперь находим вероятность:

$$P(\text{не делится на тысячу}) = \frac{14}{25} = 0,56$$

Ответ:

а) 0,36

б) 0,52

в) 0,04

г) 0,56