ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Двузначное число составляют так. Его первая цифра получается в результате первого бросания игрального кубика, грани которого пронумерованы цифрами от 1 до 6, а вторая цифра — в результате второго бросания этого кубика. Найдите вероятность того, что это число:

a) состоит из разных цифр;

б) больше 20;

в) кратно 7;

г) простое.

Двухзначное число составляют двумя бросками игральной кости;
Всего таких чисел: $N = 6 \cdot 6 = 36$;

а) Вероятность, что это число состоит из разных цифр:

$$\overline{N} = \{11; 22; 33; 44; 55; 66\} = 6;$$ $$N(A) = N — \overline{N} = 36 — 6 = 30;$$ $$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{30}{36} = 0,833;$$

б) Вероятность, что это число больше 20:

$$N_1 = \{2; 3; 4; 5; 6\} = 5 \text{ — вариантов первой цифры};$$ $$N_2 = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\} = 6 \text{ — вариантов второй цифры};$$ $$N(A) = N_1 \cdot N_2 = 5 \cdot 6 = 30;$$ $$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{30}{36} = 0,833;$$

в) Вероятность, что это число кратно 7:

$$N(A) = \{14; 21; 35; 42; 56; 63\} = 6;$$ $$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{6}{36} = 0,167;$$

г) Вероятность, что это число простое:

$$N(A) = \{11; 13; 23; 31; 41; 43; 53; 61\} = 8;$$ $$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{8}{36} = 0,222;$$

Ответ: а) 0,833; б) 0,833; в) 0,167; г) 0,222.

Двузначное число составляют двумя бросками игрального кубика.

• В первом броске выбирается первая цифра числа, которая может быть одной из цифр $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, так как игральный кубик имеет 6 граней, каждая из которых помечена одной из этих цифр.
• Во втором броске выбирается вторая цифра числа, которая также может быть одной из цифр $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Так как оба броска независимы, то возможных комбинаций чисел всего $6 \times 6 = 36$ (каждая цифра первой и второй позиции может быть любой из 6 возможных).

Таким образом, общее количество двузначных чисел, которые могут быть получены двумя бросками, равно $N = 36$.

Теперь рассмотрим вероятности для каждого из условий.

a) Вероятность того, что число состоит из разных цифр

Разбор:

Число состоит из разных цифр, если первая цифра не равна второй. Для нахождения вероятности этого события, найдем сначала количество чисел, состоящих из одинаковых цифр (например, $11, 22, 33$ и т.д.), а затем вычтем это количество из общего числа.

• Числа, состоящие из одинаковых цифр: это такие числа, как $11, 22, 33, 44, 55, 66$. Таких чисел всего 6, т.е. $\overline{N} = 6$.
• Количество чисел, состоящих из разных цифр: это все возможные числа, за исключением одинаковых цифр, т.е. $N(A) = N — \overline{N} = 36 — 6 = 30$.

Вероятность:

Теперь, зная количество чисел с разными цифрами, можем вычислить вероятность того, что число состоит из разных цифр:

$$P(\text{разные цифры}) = \frac{N(A)}{N} = \frac{30}{36} = 0,833.$$

б) Вероятность того, что число больше 20

Разбор:

Число больше 20, если его первая цифра больше или равна 2. То есть, первая цифра может быть $2, 3, 4, 5$ или $6$. Для каждой из этих цифр возможные значения второй цифры могут быть любыми из 6 возможных (то есть, $1, 2, 3, 4, 5, 6$).

• Количество вариантов для первой цифры: $N_1 = \{2, 3, 4, 5, 6\}$, всего 5 вариантов.
• Количество вариантов для второй цифры: $N_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, всего 6 вариантов.

Таким образом, количество чисел, которые больше 20, равно:

$$N(A) = N_1 \times N_2 = 5 \times 6 = 30.$$

Вероятность:

Теперь можем вычислить вероятность того, что число больше 20:

$$P(\text{больше 20}) = \frac{N(A)}{N} = \frac{30}{36} = 0,833.$$

в) Вероятность того, что число кратно 7

Разбор:

Число будет кратно 7, если оно делится на 7 нацело. Перечислим все двузначные числа, которые могут быть получены бросками игрального кубика, и проверим, какие из них кратны 7.

Перечислим все возможные числа:

$$\{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,$$

$$\{11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66\}.$$

Теперь проверим, какие из этих чисел делятся на 7. Это:

$$14, 21, 35, 42, 56, 63.$$

Таких чисел всего 6, т.е. $N(A) = 6$.

Вероятность:

Теперь можем вычислить вероятность того, что число кратно 7:

$$P(\text{кратно 7}) = \frac{N(A)}{N} = \frac{6}{36} = 0,167.$$

г) Вероятность того, что число простое

Разбор:

Простое число — это число, которое имеет ровно два различных делителя: 1 и само себя. Перечислим все двузначные числа, которые могут быть получены бросками игрального кубика, и проверим, какие из них являются простыми.

Простые числа из множества всех возможных чисел:

$$11, 13, 23, 31, 41, 43, 53, 61.$$

Таких чисел всего 8, т.е. $N(A) = 8$.

Вероятность:

Теперь можем вычислить вероятность того, что число простое:

$$P(\text{простое}) = \frac{N(A)}{N} = \frac{8}{36} = 0,222.$$

Ответ:

a) 0,833;
б) 0,833;
в) 0,167;
г) 0,222.