ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 49.9 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Красивых учеников в классе — 22, а умных — 18. Всего в классе 30 учеников и каждый из них умный или красивый, или и умный, и красивый.

a) Сколько учеников, которые и умны, и красивы?

б) Сколько учеников, которые умны, но не красивы?

в) Сколько учеников, которые красивы, но не умны?

г) Измените в условии общее число учеников так, чтобы ответы в пунктах a) и в) были одинаковы.

Переписанный текст без изменений:

Красивых учеников в классе $N(A) = 22$, а умных $N(B) = 18$;
Всего учеников $N(A \cup B) = 30$, каждый из них красивый или умный;

а) Количество учеников, которые и умны, и красивы:
$N(A \cap B) = N(A) + N(B) — N(A \cup B) = 22 + 18 — 30 = 10;$

б) Количество учеников, которые умны, но не красивы:
$B = N(B) — N(A \cap B) = 18 — 10 = 8;$

в) Количество учеников, которые красивы, но не умны:
$A = N(A) — N(A \cap B) = 22 — 10 = 12;$

г) Если ответы в пунктах а) и в) будут одинаковы:
$N(A) — N(A \cap B) = N(A \cap B);$
$N(A \cap B) = N(A) : 2 = 22 : 2 = 11;$
$N(A \cup B) = N(A) + N(B) — N(A \cap B) = 22 + 18 — 11 = 29;$

Ответ: а) 10; б) 8; в) 12; г) 29.

Дано:

• Количество красивых учеников $N(A) = 22$
• Количество умных учеников $N(B) = 18$
• Общее количество учеников $N(A \cup B) = 30$

Также известно, что каждый ученик либо красив, либо умен, либо и красив, и умен (все ученики входят в объединение двух множеств $A$ и $B$).

a) Сколько учеников, которые и умны, и красивы?

Для того чтобы найти количество учеников, которые одновременно и умные, и красивые, используем формулу для числа элементов пересечения двух множеств:

$$N(A \cap B) = N(A) + N(B) — N(A \cup B)$$

где:

• $N(A)$ — количество красивых учеников,
• $N(B)$ — количество умных учеников,
• $N(A \cup B)$ — общее количество учеников.

Подставим известные значения:

$$N(A \cap B) = 22 + 18 — 30 = 10$$

Ответ: 10 учеников одновременно и умных, и красивых.

б) Сколько учеников, которые умны, но не красивы?

Чтобы найти количество учеников, которые умны, но не красивы, нужно вычесть из общего числа умных учеников тех, кто одновременно умный и красивый:

$$N(B \setminus A) = N(B) — N(A \cap B)$$

Подставим значения:

$$N(B \setminus A) = 18 — 10 = 8$$

Ответ: 8 учеников умных, но не красивых.

в) Сколько учеников, которые красивы, но не умны?

Аналогично, для нахождения количества учеников, которые красивы, но не умны, нужно вычесть из общего числа красивых учеников тех, кто одновременно и умный, и красивый:

$$N(A \setminus B) = N(A) — N(A \cap B)$$

Подставим значения:

$$N(A \setminus B) = 22 — 10 = 12$$

Ответ: 12 учеников красивых, но не умных.

г) Измените в условии общее число учеников так, чтобы ответы в пунктах a) и в) были одинаковы.

Нам нужно изменить общее количество учеников $N(A \cup B)$, чтобы количество учеников, которые одновременно и умные, и красивые, было равно количеству учеников, которые красивы, но не умны.

Для этого мы предполагаем, что в условиях задачи ответ на пункт а) (то есть количество учеников, которые и умны, и красивы) равно количеству учеников, которые красивы, но не умны.

Таким образом, нам нужно, чтобы:

$$N(A \cap B) = N(A \setminus B)$$

Из предыдущего решения:

$$N(A \cap B) = 10, \quad N(A \setminus B) = 12$$

Это возможно, если изменить $N(A \cup B)$, так как увеличение общего числа учеников приведет к изменению пересечения двух множеств.

Предположим, что $N(A \cap B) = N(A \setminus B)$, то есть $N(A \cap B) = 11$.

Теперь пересчитаем $N(A \cup B)$, учитывая, что количество учеников, которые одновременно и умные, и красивые, равно 11. Мы используем формулу для объединения множеств:

$$N(A \cup B) = N(A) + N(B) — N(A \cap B)$$

Подставим новые значения:

$$N(A \cup B) = 22 + 18 — 11 = 29$$

Ответ: Общее количество учеников должно быть $29$, чтобы количество учеников, которые одновременно и умные, и красивые, было равно количеству учеников, которые красивы, но не умны.

Итоговые ответы:

а) 10 учеников, которые и умны, и красивы.

б) 8 учеников, которые умны, но не красивы.

в) 12 учеников, которые красивы, но не умны.

г) Общее количество учеников должно быть $29$, чтобы ответы на пункты а) и в) были одинаковыми.