ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\mathrm{\mid }x+4\mathrm{\mid }=5$

б) $\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }10-x\mathrm{\mid }$

в) $\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }=15$

г) $\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }5x\mathrm{\mid }$

а)

$$|x + 4| = 5;$$ $$\sqrt{(x + 4)^2} = 5;$$ $$(x + 4)^2 = 5^2;$$ $$x^2 + 8x + 16 = 25;$$ $$x^2 + 8x — 9 = 0;$$ $$D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-8 — 10}{2} = -9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1;$$

Ответ: $x_1 = -9; \, x_2 = 1$.

б)

$$|x — 4| = |10 — x|;$$ $$\sqrt{(x — 4)^2} = \sqrt{(10 — x)^2};$$ $$(x — 4)^2 = (10 — x)^2;$$ $$x^2 — 8x + 16 = 100 — 20x + x^2;$$ $$12x = 84;$$ $$x = 7;$$

Ответ: $x = 7$.

в)

$$|x — 4| = 15;$$ $$\sqrt{(x — 4)^2} = 15^2;$$ $$(x — 4)^2 = 15^2;$$ $$x^2 — 8x + 16 = 225;$$ $$x^2 — 8x — 209 = 0;$$ $$D = 8^2 + 4 \cdot 209 = 64 + 836 = 900, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{8 — 30}{2} = -11 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{8 + 30}{2} = 19;$$

Ответ: $x_1 = -11; \, x_2 = 19$.

г)

$$|x — 4| = |5x|;$$ $$\sqrt{(x — 4)^2} = \sqrt{(5x)^2};$$ $$(x — 4)^2 = (5x)^2;$$ $$x^2 — 8x + 16 = 25x^2;$$ $$24x^2 + 8x — 16 = 0;$$ $$3x^2 + x — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1;$$ $$x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};$$

Ответ: $x_1 = -1; \, x_2 = \frac{2}{3}$.

а) $|x + 4| = 5$

Шаг 1: Разбор модульного выражения.

Модуль выражения $|x + 4| = 5$ означает, что выражение внутри модуля, $x + 4$, может быть равно либо $5$, либо $-5$, так как модуль числа $|a|$ равен $a$ или $-a$, в зависимости от знака $a$.

Таким образом, мы получаем два случая:

$$x + 4 = 5 \quad \text{или} \quad x + 4 = -5.$$

Шаг 2: Решение каждого случая.

1. Первый случай:
   $x + 4 = 5$,
   $x = 5 — 4 = 1$.
2. Второй случай:
   $x + 4 = -5$,
   $x = -5 — 4 = -9$.

Шаг 3: Итоговое решение.

Таким образом, решения уравнения $|x + 4| = 5$ — это:

$$x_1 = 1, \quad x_2 = -9.$$

Ответ: $x_1 = 1, \, x_2 = -9$.

б) $|x — 4| = |10 — x|$

Шаг 1: Разбор модульного выражения.

Уравнение $|x — 4| = |10 — x|$ означает, что расстояние между $x$ и $4$ равно расстоянию между $x$ и $10$. Это можно интерпретировать как равенство двух модулей. Для того чтобы решить это уравнение, нужно рассмотреть несколько случаев.

Шаг 2: Преобразование уравнения.

Возьмём квадрат обеих сторон:

$$\sqrt{(x — 4)^2} = \sqrt{(10 — x)^2}.$$

Квадратный корень из квадрата даёт нам абсолютное значение, поэтому уравнение сводится к:

$$(x — 4)^2 = (10 — x)^2.$$

Шаг 3: Решение уравнения.

Раскроем обе стороны:

$$x^2 — 8x + 16 = 100 — 20x + x^2.$$

Преобразуем:

$$x^2 — 8x + 16 — x^2 + 20x — 100 = 0,$$

сокращаем $x^2$:

$$12x — 84 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$12x = 84 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{84}{12} = 7.$$

Шаг 4: Итоговое решение.

Единственное решение этого уравнения:

$$x = 7.$$

Ответ: $x = 7$.

в) $|x — 4| = 15$

Шаг 1: Разбор модульного выражения.

Уравнение $|x — 4| = 15$ означает, что $x — 4$ может быть либо $15$, либо $-15$, так как модуль числа равен самому числу или его противоположному значению. Таким образом, у нас два случая:

$$x — 4 = 15 \quad \text{или} \quad x — 4 = -15.$$

Шаг 2: Решение каждого случая.

1. Первый случай:
   $x — 4 = 15$,
   $x = 15 + 4 = 19$.
2. Второй случай:
   $x — 4 = -15$,
   $x = -15 + 4 = -11$.

Шаг 3: Итоговое решение.

Решения уравнения $|x — 4| = 15$ — это:

$$x_1 = 19, \quad x_2 = -11.$$

Ответ: $x_1 = 19, \, x_2 = -11$.

г) $|x — 4| = |5x|$

Шаг 1: Разбор модульного выражения.

Уравнение $|x — 4| = |5x|$ можно решить аналогично предыдущим задачам. Модульное уравнение предполагает два возможных случая для обеих сторон. Для удобства и точности возьмём квадрат обеих сторон:

$$\sqrt{(x — 4)^2} = \sqrt{(5x)^2}.$$

Преобразуем:

$$(x — 4)^2 = (5x)^2.$$

Шаг 2: Раскрытие и упрощение.

Теперь раскроем обе стороны:

$$x^2 — 8x + 16 = 25x^2.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$x^2 — 8x + 16 — 25x^2 = 0,$$

упрощаем:

$$-24x^2 — 8x + 16 = 0.$$

Умножим на $-1$, чтобы упростить выражение:

$$24x^2 + 8x — 16 = 0.$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения.

Теперь решим квадратное уравнение:

$$3x^2 + x — 2 = 0.$$

Для этого используем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25.$$

Теперь найдём корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

Шаг 4: Итоговое решение.

Решения уравнения $|x — 4| = |5x|$ — это:

$$x_1 = -1, \quad x_2 = \frac{2}{3}.$$

Ответ: $x_1 = -1, \, x_2 = \frac{2}{3}$.