ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Какие значения может принимать |х — у|, если |х — а| = 7, |у — а| = 16;

б) какие значения может принимать |а — b|, если |х — а| — 7, |x — 6| = 16?

а) $|x — a| = 7$ и $|y — a| = 16$;

Первая пара значений:

$$\begin{cases} x — a = -7 \\ y — a = -16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = a — 7 \\ y = a — 16 \end{cases};$$ $$|x — y| = |a — 7 — (a — 16)| = |9| = 9;$$

Вторая пара значений:

$$\begin{cases} x — a = -7 \\ y — a = 16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = a — 7 \\ y = a + 16 \end{cases};$$ $$|x — y| = |a — 7 — (a + 16)| = |-23| = 23;$$

Третья пара значений:

$$\{\begin{array}{l}x-a=-7\\ y-a=\; -16\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=a+7\\ y=a-16\end{array};$$
$$|x — y| = |a + 7 — (a — 16)| = |23| = 23;$$

Четвертая пара значений:

$$\begin{cases} x — a = 7 \\ y — a = 16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = a + 7 \\ y = a + 16 \end{cases};$$ $$|x — y| = |a + 7 — (a + 16)| = |-9| = 9;$$

Ответ: 9 или 23.

б) $|x — a| = 3$ и $|x — b| = 5$;

Первая пара значений:

$$\begin{cases} x — a = -3 \\ x — b = -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = x + 3 \\ b = x + 5 \end{cases};$$ $$|a — b| = |x + 3 — (x + 5)| = |-2| = 2;$$

Вторая пара значений:

$$\begin{cases} x — a = -3 \\ x — b = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = x + 3 \\ b = x — 5 \end{cases};$$ $$|a — b| = |x + 3 — (x — 5)| = |8| = 8;$$

Третья пара значений:

$$\begin{cases} x — a = 3 \\ x — b = -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = x — 3 \\ b = x + 5 \end{cases};$$ $$|a — b| = |x — 3 — (x + 5)| = |-8| = 8;$$

Четвертая пара значений:

$$\begin{cases} x — a = 3 \\ x — b = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = x — 3 \\ b = x — 5 \end{cases};$$ $$|a — b| = |x — 3 — (x — 5)| = |2| = 2;$$

Ответ: 2 или 8.

а) $|x — a| = 7$ и $|y — a| = 16$;

Мы будем рассматривать все возможные варианты для значений $x$ и $y$, исходя из данных равенств с модулями.

Шаг 1. Рассмотрим два модуля $|x — a| = 7$ и $|y — a| = 16$.

Для каждого модуля, например $|x — a| = 7$, существует два возможных случая:

1. $x — a = 7$ (когда выражение внутри модуля равно 7)
2. $x — a = -7$ (когда выражение внутри модуля равно -7)

Аналогично для $|y — a| = 16$, существует два возможных случая:

1. $y — a = 16$ (когда выражение внутри модуля равно 16)
2. $y — a = -16$ (когда выражение внутри модуля равно -16)

Шаг 2. Рассмотрим все возможные сочетания этих случаев для $x$ и $y$.

1) Первая пара значений:

Рассмотрим комбинацию:

• $x — a = -7$ (следовательно, $x = a — 7$)
• $y — a = -16$ (следовательно, $y = a — 16$)

Теперь вычислим $|x — y|$:

$$|x — y| = |(a — 7) — (a — 16)| = |a — 7 — a + 16| = |9| = 9$$

Таким образом, для этой пары значений $|x — y| = 9$.

2) Вторая пара значений:

Рассмотрим комбинацию:

• $x — a = -7$ (следовательно, $x = a — 7$)
• $y — a = 16$ (следовательно, $y = a + 16$)

Теперь вычислим $|x — y|$:

$$|x — y| = |(a — 7) — (a + 16)| = |a — 7 — a — 16| = |-23| = 23$$

Таким образом, для этой пары значений $|x — y| = 23$.

3) Третья пара значений:

Рассмотрим комбинацию:

• $x — a = 7$ (следовательно, $x = a + 7$)
• $y — a = -16$ (следовательно, $y = a — 16$)

Теперь вычислим $|x — y|$:

$$|x — y| = |(a + 7) — (a — 16)| = |a + 7 — a + 16| = |23| = 23$$

Таким образом, для этой пары значений $|x — y| = 23$.

4) Четвертая пара значений:

Рассмотрим комбинацию:

• $x — a = 7$ (следовательно, $x = a + 7$)
• $y — a = 16$ (следовательно, $y = a + 16$)

Теперь вычислим $|x — y|$:

$$|x — y| = |(a + 7) — (a + 16)| = |a + 7 — a — 16| = |-9| = 9$$

Таким образом, для этой пары значений $|x — y| = 9$.

Ответ на задачу а):

9 или 23.

б) $|x — a| = 3$ и $|x — b| = 5$;

Аналогично первой части, мы будем рассматривать все возможные сочетания для значений $x$, $a$, и $b$, исходя из условий задачи.

Шаг 1. Рассмотрим два модуля $|x — a| = 3$ и $|x — b| = 5$.

Для модуля $|x — a| = 3$ существует два возможных случая:

1. $x — a = 3$ (следовательно, $x = a + 3$)
2. $x — a = -3$ (следовательно, $x = a — 3$)

Аналогично для $|x — b| = 5$, существует два возможных случая:

1. $x — b = 5$ (следовательно, $x = b + 5$)
2. $x — b = -5$ (следовательно, $x = b — 5$)

Шаг 2. Рассмотрим все возможные сочетания этих случаев для $x$, $a$ и $b$.

1) Первая пара значений:

Рассмотрим комбинацию:

• $x — a = -3$ (следовательно, $x = a — 3$)
• $x — b = -5$ (следовательно, $x = b — 5$)

Приравняем выражения для $x$:

$$a — 3 = b — 5$$

Добавим 5 к обеим частям:

$$a + 2 = b$$

Следовательно, $b = a + 2$.

Теперь вычислим $|a — b|$:

$$|a — b| = |a — (a + 2)| = |-2| = 2$$

Таким образом, для этой пары значений $|a — b| = 2$.

2) Вторая пара значений:

Рассмотрим комбинацию:

• $x — a = -3$ (следовательно, $x = a — 3$)
• $x — b = 5$ (следовательно, $x = b + 5$)

Приравняем выражения для $x$:

$$a — 3 = b + 5$$

Переносим все слагаемые с $b$ на одну сторону, а все остальные на другую:

$$a — 3 — 5 = b$$

Получаем:

$$b = a — 8$$

Теперь вычислим $|a — b|$:

$$|a — b| = |a — (a — 8)| = |8| = 8$$

Таким образом, для этой пары значений $|a — b| = 8$.

3) Третья пара значений:

Рассмотрим комбинацию:

• $x — a = 3$ (следовательно, $x = a + 3$)
• $x — b = -5$ (следовательно, $x = b — 5$)

Приравняем выражения для $x$:

$$a + 3 = b — 5$$

Добавим 5 к обеим частям:

$$a + 8 = b$$

Теперь вычислим $|a — b|$:

$$|a — b| = |a — (a + 8)| = |-8| = 8$$

Таким образом, для этой пары значений $|a — b| = 8$.

4) Четвертая пара значений:

Рассмотрим комбинацию:

• $x — a = 3$ (следовательно, $x = a + 3$)
• $x — b = 5$ (следовательно, $x = b + 5$)

Приравняем выражения для $x$:

$$a + 3 = b + 5$$

Переносим все слагаемые с $b$ на одну сторону, а все остальные на другую:

$$a — 2 = b$$

Теперь вычислим $|a — b|$:

$$|a — b| = |a — (a — 2)| = |2| = 2$$

Таким образом, для этой пары значений $|a — b| = 2$.

Ответ на задачу б):

2 или 8.