ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\ge a$;

б) $-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\le a\le \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$;

в) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a\leftrightarrow a<0$;

г) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0$, если $a=b=c=0$

а) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\ge a$;

Если $a\ge 0$, тогда:

$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a;$$

Если $a<0$, тогда:

$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a;$$$$-a>0>a;$$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a;$$

Утверждение доказано.

б) $-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\le a\le \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$;

Если $a\ge 0$, тогда:

$$-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a;$$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a;$$$$-a<0<a;$$$$-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<a=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid };$$

Если $a<0$, тогда:

$$-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-(-a)=a;$$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a;$$$$-a>0>a;$$$$a<-a;$$$$-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a<\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid };$$

Утверждение доказано.

в) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a\leftrightarrow a<0$;

Первое утверждение:

$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a;$$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a;$$$$-a>a;$$$$-a>0>a;$$$$a<0;$$

Второе утверждение:

$$a<0;$$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a;$$$$-a>0>a;$$$$-a>a;$$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a;$$

Оба утверждения доказаны.

г) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0$, если $a=b=c=0$;

Первое утверждение:

$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0;$$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\ge 0,\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\ge 0,\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }\ge 0;$$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0;$$$$a=b=c=0;$$

Второе утверждение:

$$a=b=c=0;$$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0;$$$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0+0+0=0;$$

Оба утверждения доказаны.

а) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\ge a$

Шаг 1: Разбор неравенства

Нужно доказать, что $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\ge a$. Для этого рассмотрим два случая:

Если $a\ge 0$:

По определению модуля, если $a\ge 0$, то $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a$. Подставим это в неравенство:

$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a\Rightarrow a\ge a,$$

что всегда верно, так как любое число всегда больше или равно себе.

Если $a<0$:

По определению модуля, если $a<0$, то $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a$. Подставим это в неравенство:

$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a\mathrm{.}$$

Необходимо доказать, что:

$$-a\ge a\mathrm{.}$$

Поскольку $a<0$, то $-a>0$, и $a<0$, следовательно, неравенство $-a\ge a$ всегда верно для отрицательных значений $a$.

Шаг 2: Ответ

Неравенство $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\ge a$ выполняется для всех $a\in R$.

б) $-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\le a\le \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$

Шаг 1: Разбор неравенства

Нужно доказать, что $-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\le a\le \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$. Рассмотрим два случая.

Если $a\ge 0$:

В этом случае по определению модуля $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a$. Подставляем это в неравенство:

$$-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a\text{и}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a,$$

таким образом, неравенство принимает вид:

$$-a\le a\le a\mathrm{.}$$

Это неравенство всегда выполняется, так как $-a\le a$ для всех $a\ge 0$, и $a\le a$ очевидно верно.

Если $a<0$:

В этом случае по определению модуля $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a$. Подставляем это в неравенство:

$$-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-(-a)=a\text{и}\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a,$$

таким образом, неравенство принимает вид:

$$a\le a\le -a\mathrm{.}$$

Здесь $a\le a$ всегда верно, а $a\le -a$ также всегда выполняется для отрицательных $a$.

Шаг 2: Ответ

Неравенство $-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\le a\le \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ выполняется для всех $a\in R$.

в) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a\leftrightarrow a<0$

Шаг 1: Разбор неравенства

Необходимо доказать, что $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a$ эквивалентно $a<0$.

Если $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a$:

Если $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a$, то по определению модуля:

• Если $a\ge 0$, то $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=a$, и неравенство $a>a$ не может быть выполнено.
• Если $a<0$, то $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a$, и неравенство $-a>a$ выполняется, так как $-a>0$ и $a<0$.

Таким образом, если $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a$, то обязательно $a<0$.

Если $a<0$:

Если $a<0$, то $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a$. Тогда:

$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=-a>a,$$

что всегда верно для отрицательных значений $a$.

Шаг 2: Ответ

Неравенство $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>a\leftrightarrow a<0$ выполнено.

г) $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0$, если $a=b=c=0$

Шаг 1: Разбор неравенства

Нужно доказать, что $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0$ выполняется только при $a=b=c=0$.

Первое утверждение:

Если $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0$, то поскольку модуль любого числа всегда неотрицателен (то есть $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\ge 0$, $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\ge 0$, $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }\ge 0$), то сумма этих модулей равна нулю только в случае, если каждый из них равен нулю.

Таким образом, $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=0$, $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }=0$, $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0$, что означает, что $a=0$, $b=0$, $c=0$.

Второе утверждение:

Если $a=0$, $b=0$, $c=0$, то:

$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0,$$

и их сумма:

$$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0+0+0=0.$$

Таким образом, условие выполняется.

Шаг 2: Ответ

Утверждение $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=0$ выполняется, если и только если $a=b=c=0$.