ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 53 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) (x-2)/(x^2+2x-8) > 0;

б) — (x+4)/(x^2+6x+8) > 0.

а) $\frac{x-2}{x^2+2x-8} > 0$;

Разложим знаменатель дроби на множители:

$x^2 + 2x — 8 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$, тогда:

$x_1 = \frac{-2-6}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-2+6}{2} = 2$;

$(x+4)(x-2) > 0$;

Получим неравенство:

$$\frac{x-2}{(x+4)(x-2)} > 0$$

$x + 4 > 0$;

$x > -4$;

Выражение имеет смысл при:

$x \neq -4$ и $x \neq 2$;

Ответ: $x \in (-4; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) $\frac{x+4}{x^2+6x+8} > 0$;

Разложим знаменатель дроби на множители:

$x^2 + 6x + 8 = 0$;

$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда:

$x_1 = \frac{-6-2}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-6+2}{2} = -2$;

$(x+4)(x+2) > 0$;

Получим неравенство:

$$-\frac{x+4}{(x+4)(x+2)} > 0$$

$-(x+2) > 0$;

$x + 2 < 0$;

$x < -2$;

Выражение имеет смысл при:

$x \neq -4$ и $x \neq -2$;

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -2)$.

а) $\frac{x — 2}{x^2 + 2x — 8} > 0$

Шаг 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ)

Дробное выражение определено только тогда, когда знаменатель не равен нулю:

$$x^2 + 2x — 8 \ne 0$$

Решим уравнение:

$$x^2 + 2x — 8 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Таким образом, ОДЗ:

$$x \ne -4, \quad x \ne 2$$

Шаг 2. Разложим знаменатель на множители

$$x^2 + 2x — 8 = (x + 4)(x — 2)$$

Шаг 3. Перепишем неравенство с учётом разложения

$$\frac{x — 2}{(x + 4)(x — 2)} > 0$$

Сократим $x — 2$, но с учётом, что $x \ne 2$:

$$\frac{1}{x + 4} > 0, \quad x \ne 2$$

Шаг 4. Решим неравенство

$$\frac{1}{x + 4} > 0$$

Эта дробь положительна, когда знаменатель положителен:

$$x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4$$

С учётом ОДЗ: $x \ne 2$

Шаг 5. Ответ:

$$x \in (-4, 2) \cup (2, +\infty)$$

б) $\frac{x + 4}{x^2 + 6x + 8} > 0$

Шаг 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$x^2 + 6x + 8 \ne 0$$

Решим:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-6 — \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 — 2}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-6 + 2}{2} = -2$$

ОДЗ: $x \ne -4$, $x \ne -2$

Шаг 2. Разложим знаменатель на множители

$$x^2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)$$

Шаг 3. Перепишем неравенство

$$\frac{x + 4}{(x + 4)(x + 2)} > 0$$

Сокращаем $x + 4$, при условии $x \ne -4$:

$$\frac{1}{x + 2} > 0$$

Шаг 4. Решаем неравенство

$$\frac{1}{x + 2} > 0 \Rightarrow x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$$

С учётом ОДЗ: $x \ne -4$, $x \ne -2$

Шаг 5. Ответ:

$$x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -2)$$