ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 56 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Автобус-экспресс отправился от автовокзала в аэропорт, находящийся от автовокзала на расстоянии 40 км. Через 10 мин вслед за автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость такси и скорость автобуса, если в аэропорт они прибыли одновременно.

Пусть $x$ (км/ч) — скорость автобуса, тогда:

• $x + 20$ (км/ч) — скорость автомобиля;
• $\frac{40}{x}$ (ч) — время движения автобуса;
• $\frac{40}{x + 20}$ (ч) — время движения автомобиля;

Автомобиль начал движение на 10 минут $\left( \frac{1}{6} \text{ часа} \right)$ позже автобуса, но в пункт назначения они прибыли в одно и то же время, значит:

$$\frac{40}{x} = \frac{40}{x + 20} + \frac{1}{6} \quad | \cdot 6x(x + 20);$$ $$40 \cdot 6(x + 20) = 40 \cdot 6x + x(x + 20);$$ $$240x + 4800 = 240x + x^2 + 20x;$$ $$x^2 + 20x — 4800 = 0;$$ $$D = 20^2 + 4 \cdot 4800 = 400 + 19200 = 19600, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-20 — 140}{2} = -80 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-20 + 140}{2} = 60;$$

Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

$$x = 60 \, \text{(км/ч)};$$ $$x + 20 = 60 + 20 = 80 \, \text{(км/ч)};$$

Ответ: $60 \, \text{км/ч}; \, 80 \, \text{км/ч}.$

Условие:

• Автобус и такси проезжают 40 км от автовокзала до аэропорта.
• Такси выехало на 10 минут позже автобуса, но прибыли одновременно.
• Скорость такси на 20 км/ч больше, чем у автобуса.
• Требуется найти:
  • Скорость автобуса $x$ (в км/ч)
  • Скорость такси $x + 20$ (в км/ч)

Решение

1. Обозначим переменные:

• Пусть $x$ — скорость автобуса, в км/ч.
• Тогда скорость такси — $x + 20$ км/ч.

2. Время движения автобуса:

$$t_{\text{автобуса}} = \frac{40}{x} \quad \text{(в часах)}$$

3. Время движения такси:

Такси выехало на 10 минут позже, т.е. на $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа.
Значит, его время в пути меньше:

$$t_{\text{такси}} = \frac{40}{x + 20}$$

Поскольку оба приехали одновременно, можно записать уравнение:

$$t_{\text{автобуса}} = t_{\text{такси}} + \frac{1}{6}$$

4. Составим уравнение:

$$\frac{40}{x} = \frac{40}{x + 20} + \frac{1}{6}$$

5. Избавимся от дробей — умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

Общий знаменатель: $6x(x + 20)$

$$6x(x + 20) \cdot \frac{40}{x} = 6x(x + 20) \cdot \left( \frac{40}{x + 20} + \frac{1}{6} \right)$$

Выполним умножение:

Левая часть:

$$6(x + 20) \cdot 40 = 240x + 4800$$

Правая часть:

$$6x \cdot 40 + x(x + 20) = 240x + x^2 + 20x$$

6. Получаем уравнение:

$$240x + 4800 = 240x + x^2 + 20x$$

Вычтем $240x$ из обеих сторон:

$$4800 = x^2 + 20x$$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$$x^2 + 20x — 4800 = 0$$

7. Решим квадратное уравнение

$$x^2 + 20x — 4800 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 20^2 + 4 \cdot 4800 = 400 + 19200 = 19600$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-20 — \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 — 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$$ $$x_2 = \frac{-20 + \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$$

8. Отбор корня по смыслу задачи

$x = -80$ — не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.
Значит:

$$x = 60 \text{ км/ч — скорость автобуса}$$ $$x + 20 = 80 \text{ км/ч — скорость такси}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{Скорость автобуса — 60 км/ч};}}$$

$$\boxed{ \text{Скорость автобуса — 60 км/ч}; \quad \text{Скорость такси — 80 км/ч} }$$