ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 58 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан у семафора на 10 мин. Увеличив после этого скорость на 10 км/ч, он прибыл на вокзал с опозданием на 2 мин, Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $x$ (км/ч) — начальная скорость поезда, тогда:

• $x + 10$ (км/ч) — его скорость в конце пути;
• $\frac{54}{x}$ (ч) — время движения поезда без задержки;
• $\frac{14}{x} + \frac{54 — 14}{x + 10}$ (ч) — время движения поезда с задержкой;

Поезд был задержан у семафора на 10 минут $\left( \frac{1}{6} \text{ часа} \right)$, вследствие чего он пришел с опозданием на 2 минуты $\left( \frac{1}{30} \text{ часа} \right)$, значит:

$$\frac{54}{x} + \frac{1}{30} = \frac{14}{x} + \frac{54 — 14}{x + 10} + \frac{1}{6};$$ $$\frac{40}{x} + \frac{1}{30} = \frac{40}{x + 10} + \frac{1}{6} \quad | \cdot 180x(x + 10);$$ $$40 \cdot 180(x + 10) + 6x(x + 10) = 40 \cdot 180x + 30x(x + 10);$$ $$7200x + 72000 + 6x^2 + 60x = 7200x + 30x^2 + 300x;$$ $$24x^2 + 240x — 72000 = 0;$$ $$D = 240^2 + 4 \cdot 24 \cdot 72000 = 57600 + 6912000 = 6969600, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-240 — 2640}{2 \cdot 24} = \frac{-2880}{48} = -60;$$ $$x_2 = \frac{-240 + 2640}{2 \cdot 24} = \frac{2400}{48} = 50;$$

Скорость движения не может быть отрицательной, значит:

$$x = 50 \, (\text{км/ч});$$

Ответ: $50 \, \text{км/ч}$.

Условие задачи:

Поезд должен был пройти 54 км.
После прохождения 14 км он был задержан у семафора на 10 минут.
Затем он увеличил скорость на 10 км/ч и прибыл в пункт назначения с опозданием на 2 минуты.
Найти первоначальную скорость поезда.

Шаг 1. Обозначим переменные

Пусть:

• $x$ — первоначальная скорость поезда, в км/ч (неизвестная величина);
• Тогда после задержки он стал двигаться со скоростью $x + 10$ км/ч.

Шаг 2. Найдём время движения в двух ситуациях

Ситуация 1: без задержки (идеальный случай)

Поезд идёт всё время со скоростью $x$ км/ч:

• Полный путь: 54 км.
• Время в этом случае:

  $$t_1 = \frac{54}{x}$$

Ситуация 2: с задержкой и увеличением скорости

• До задержки поезд проехал 14 км со скоростью $x$, это заняло:

  $$t_{до} = \frac{14}{x}$$

• После задержки он проехал оставшиеся $54 — 14 = 40$ км со скоростью $x + 10$, это заняло:

  $$t_{после} = \frac{40}{x + 10}$$

• Задержка у семафора: 10 минут = $\frac{1}{6}$ часа.
• Общее время движения в этом случае:

  $$t_2 = \frac{14}{x} + \frac{40}{x + 10} + \frac{1}{6}$$

Шаг 3. Сравним времена (по условию: опоздание 2 минуты)

• Опоздание: 2 минуты = $\frac{1}{30}$ часа.
• Тогда:

  $$t_2 = t_1 + \frac{1}{30}$$

• Подставим выражения:

  $$\frac{14}{x} + \frac{40}{x + 10} + \frac{1}{6} = \frac{54}{x} + \frac{1}{30}$$

Шаг 4. Упростим уравнение

Левую и правую части уже выразили:

$$\frac{14}{x} + \frac{40}{x + 10} + \frac{1}{6} = \frac{54}{x} + \frac{1}{30}$$

Вычтем $\frac{14}{x}$ с обеих сторон:

$$\frac{40}{x + 10} + \frac{1}{6} = \frac{40}{x} + \frac{1}{30}$$

Шаг 5. Устраним знаменатели

Уравнение:

$$\frac{40}{x + 10} + \frac{1}{6} = \frac{40}{x} + \frac{1}{30}$$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей:
Общий знаменатель: $\text{LCM}(x(x+10), 6, 30) = 180x(x + 10)$

Умножим всё на $180x(x + 10)$:

$$40 \cdot 180x + 30x(x + 10) = 40 \cdot 180(x + 10) + 6x(x + 10)$$

Шаг 6. Раскроем скобки

Левая часть:

$$\begin{gathered} 40\cdot 180x=7200x \\ 30x(x+10)=30x^2+300x \end{gathered}$$

$$40 \cdot 180x = 7200x \\ 30x(x + 10) = 30x^2 + 300x \\ \text{Суммарно: } 7200x + 30x^2 + 300x$$

Правая часть:

$$\begin{gathered} 40\cdot 180(x+10)=7200(x+10)=7200x+72000 \\ 6x(x+10)=6x^2+60x \end{gathered}$$

$$40 \cdot 180(x + 10) = 7200(x + 10) = 7200x + 72000 \\ 6x(x + 10) = 6x^2 + 60x \\ \text{Суммарно: } 7200x + 72000 + 6x^2 + 60x$$

Шаг 7. Перенесём всё в одну сторону

Уравнение:

$$7200x + 30x^2 + 300x = 7200x + 72000 + 6x^2 + 60x$$

Вычтем из обеих частей $7200x$:

$$30x^2 + 300x = 72000 + 6x^2 + 60x$$

Всё переносим влево:

$$30x^2 + 300x — 6x^2 — 60x — 72000 = 0$$ $$(30x^2 — 6x^2) + (300x — 60x) — 72000 = 0$$ $$24x^2 + 240x — 72000 = 0$$

Шаг 8. Решим квадратное уравнение

Уравнение:

$$24x^2 + 240x — 72000 = 0$$

Разделим всё на 24:

$$x^2 + 10x — 3000 = 0$$

Решаем по дискриминанту:

$$D = 10^2 + 4 \cdot 3000 = 100 + 12000 = 12100$$

Корни:

$$x = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2} = \frac{-10 \pm 110}{2}$$

Получаем:

• $x_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$
• $x_2 = \frac{-10 — 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Шаг 9. Проверим физический смысл

• Отрицательная скорость невозможна, значит:

$$x = 50 \, \text{км/ч}$$

Ответ: $\boxed{50 \text{ км/ч}}$ — первоначальная скорость поезда.