ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется равенство:

а) $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! — 1;$

б) $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 — \frac{1}{(n+1)!}$ (см. № 1.36).

а) $S_n = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! — 1$;

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = (1+1)! — 1 = 2! — 1 = 2 — 1 = 1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = ((n-1)+1)! — 1 = n! — 1;$$ $$S_n = (n+1)! — 1 = (n+1) \cdot n! — 1 = (n! — 1) + (n \cdot n!) = S_{n-1} + n \cdot n!;$$

б) $S_n = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 — \frac{1}{(n+1)!};$

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = 1 — \frac{1}{(1+1)!} = 1 — \frac{1}{2!} = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = 1 — \frac{1}{((n-1)+1)!} = 1 — \frac{1}{n!};$$ $$S_n = 1 — \frac{1}{(n+1)!};$$ $$S_n — S_{n-1} = 1 — \frac{1}{(n+1)!} — \left( 1 — \frac{1}{n!} \right) = \frac{1}{n!} — \frac{1}{(n+1)!} = \frac{(n+1)-1}{(n+1) \cdot n!} = \frac{n}{(n+1)!}.$$

а) $S_n = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + n \cdot n! = (n+1)! — 1$

1) Проверка для $n = 1$:

Нужно проверить, что формула верна для $n = 1$.

Слева:

$$S_1 = 1 \cdot 1! = 1 \cdot 1 = 1$$

Справа:

$$S_1 = (1+1)! — 1 = 2! — 1 = 2 — 1 = 1$$

Таким образом, формула верна для $n = 1$.

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$:

Для доказательства будем использовать метод математической индукции.

• Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как показано выше.
• Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

  $$S_k = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + k \cdot k! = (k+1)! — 1$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n = k+1$. То есть, нужно показать, что:

  $$S_{k+1} = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \cdots + k \cdot k! + (k+1) \cdot (k+1)! = (k+2)! — 1$$

  Пишем $S_{k+1}$ как сумму:

  $$S_{k+1} = S_k + (k+1) \cdot (k+1)!$$

  Подставляем индукционное предположение для $S_k$:

  $$S_{k+1} = ((k+1)! — 1) + (k+1) \cdot (k+1)!$$

  Вынесем общий множитель $(k+1)!$:

  $$S_{k+1} = (k+1)! \left( 1 + (k+1) \right) — 1 = (k+1)! \cdot (k+2) — 1$$

  Мы видим, что:

  $$S_{k+1} = (k+2)! — 1$$

  Таким образом, формула верна для $n = k+1$, и индукция завершена.

б) $S_n = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 — \frac{1}{(n+1)!}$

1) Проверка для $n = 1$:

Слева:

$$S_1 = \frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$$

Справа:

$$S_1 = 1 — \frac{1}{(1+1)!} = 1 — \frac{1}{2!} = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Таким образом, формула верна для $n = 1$.

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем метод математической индукции.

• Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как показано выше.
• Индукционный шаг: Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

  $$S_k = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{k}{(k+1)!} = 1 — \frac{1}{(k+1)!}$$

  Теперь нужно доказать, что формула верна для $n = k+1$. То есть, нужно показать, что:

  $$S_{k+1} = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{k}{(k+1)!} + \frac{k+1}{(k+2)!} = 1 — \frac{1}{(k+2)!}$$

  Пишем $S_{k+1}$ как сумму:

  $$S_{k+1} = S_k + \frac{k+1}{(k+2)!}$$

  Подставляем индукционное предположение для $S_k$:

  $$S_{k+1} = \left( 1 — \frac{1}{(k+1)!} \right) + \frac{k+1}{(k+2)!}$$

  Приводим к общему знаменателю:

  $$S_{k+1} = 1 — \frac{1}{(k+1)!} + \frac{k+1}{(k+2)!} = 1 — \frac{(k+2)}{(k+2)!} = 1 — \frac{1}{(k+2)!}$$

  Таким образом, формула верна для $n = k+1$, и индукция завершена.

Итог:

Мы доказали обе части задачи с использованием метода математической индукции:

• Для первой части (а) мы доказали, что $S_n = (n+1)! — 1$.
• Для второй части (б) мы доказали, что $S_n = 1 — \frac{1}{(n+1)!}$.