ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что

$$\frac{1}{a\cdot (a+d)}+\frac{1}{(a+d)\cdot (a+2d)}+\frac{1}{(a+2d)\cdot (a+3d)}+\dots +$$$$+\frac{1}{(a+d(n-1))(a+dn)}=\frac{n}{a(a+dn)},$$

где $a\mathrm{\ne }0$, $d\mathrm{\ne }0$, $n\in \mathbb{N}$:

а) методом математической индукции;

б) без использования метода математической индукции.

Дано тождество:

$$S_n=\frac{1}{a\cdot (a+d)}+\frac{1}{(a+d)\cdot (a+2d)}+\frac{1}{(a+2d)\cdot (a+3d)}+\cdots +$$$$+\frac{1}{(a+d(n-1))(a+dn)}=\frac{n}{a(a+dn)};$$

а) Доказательство методом математической индукции:

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$S_1=\frac{1}{a\cdot (a+d\cdot 1)}=\frac{1}{a\cdot (a+d)};$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1}=\frac{n-1}{a(a+d(n-1))};$$$$S_n=\frac{n}{a(a+dn)};$$$$S_n-S_{n-1}=\frac{n}{a(a+dn)}-\frac{n-1}{a(a+d(n-1))}=$$$$=\frac{n(a+d(n-1))-(n-1)(a+dn)}{a(a+dn)(a+d(n-1))}=$$$$=\frac{an+d{n}^2-dn-an-d{n}^2+a+dn}{a(a+dn)(a+d(n-1))}=$$$$=\frac{an+d{n}^2-dn-an-d{n}^2+a+dn}{a(a+dn)(a+d(n-1))}=$$$$=\frac{a}{a(a+dn)(a+d(n-1))}=\frac{1}{(a+d(n-1))(a+dn)};$$

б) Доказательство без использования математической индукции:

Сумма первых двух членов:

$$S_2=\frac{1}{a\cdot (a+d)}+\frac{1}{(a+d)\cdot (a+2d)}=\frac{1}{a+d}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a+2d})=$$$$=\frac{1}{a+d}\cdot \frac{a+2d+a}{a(a+2d)}=\frac{2(a+d)}{(a+d)(a+2d)}=\frac{2}{a(a+2d)};$$

Сумма первых трех членов:

$$S_3=\frac{2}{a(a+2d)}+\frac{1}{(a+2d)(a+3d)}=\frac{1}{a+2d}(\frac{2}{a}+\frac{1}{a+3d})=$$$$=\frac{2}{a+2d}\cdot \frac{2a+3d+a}{a(a+3d)}=\frac{3(a+d)}{(a+2d)(a+3d)}=\frac{3}{a(a+3d)};$$

Вновь получена дробь, у которой числитель равен коэффициенту перед числом $d$, а знаменатели этой дроби и следующего числа имеют одинаковый множитель, значит продолжая аналогичные вычисления можно прийти к сумме

$$S_n=\frac{n}{a(a+dn)},$$

что и требовалось доказать.

Дано тождество:

$$S_n=\frac{1}{a\cdot (a+d)}+\frac{1}{(a+d)\cdot (a+2d)}+\frac{1}{(a+2d)\cdot (a+3d)}+\cdots +$$

$$+\frac{1}{(a+d(n-1))(a+dn)}=\frac{n}{a(a+dn)}$$

а) Доказательство методом математической индукции:

1) Проверка базового случая ($n=1$):

Для $n=1$, мы имеем:

$$S_1=\frac{1}{a\cdot (a+d)}=\frac{1}{a(a+d)}$$

Справа по формуле:

$$\frac{n}{a(a+dn)}=\frac{1}{a(a+d)}$$

Так как обе стороны равенства совпадают, базовый случай доказан.

2) Индукционный шаг:

Теперь предположим, что формула верна для некоторого $n=k$, то есть:

$$S_k=\frac{k}{a(a+dk)}$$

Нужно доказать, что она верна для $n=k+1$, то есть нужно показать, что:

$$S_{k+1}=\frac{k+1}{a(a+d(k+1))}$$

Пишем $S_{k+1}$ как сумму первых $k$ членов и последнего члена:

$$S_{k+1}=S_k+\frac{1}{(a+dk)(a+d(k+1))}$$

Подставляем предположение индукции для $S_k$:

$$S_{k+1}=\frac{k}{a(a+dk)}+\frac{1}{(a+dk)(a+d(k+1))}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$S_{k+1}=\frac{k(a+d(k+1))+a}{a(a+dk)(a+d(k+1))}$$

Раскрываем числитель:

$$k(a+d(k+1))=k(a+dk+d)=ka+kdk+kd$$$$S_{k+1}=\frac{ka+kdk+kd+a}{a(a+dk)(a+d(k+1))}$$$$S_{k+1}=\frac{a(k+1)+kd(k+1)}{a(a+dk)(a+d(k+1))}$$

Вынесем общий множитель $k+1$:

$$S_{k+1}=\frac{(k+1)(a+dk)}{a(a+dk)(a+d(k+1))}$$

Это выражение совпадает с правой частью формулы для $S_{k+1}$:

$$S_{k+1}=\frac{k+1}{a(a+d(k+1))}$$

Таким образом, индукционный шаг завершен, и тождество доказано для всех $n\in \mathbb{N}$.

б) Доказательство без использования математической индукции:

В этом подходе мы будем анализировать сумму поэтапно, начиная с первых нескольких членов.

1) Сумма первых двух членов:

Рассмотрим сумму первых двух членов:

$$S_2=\frac{1}{a\cdot (a+d)}+\frac{1}{(a+d)\cdot (a+2d)}$$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{a+d}$:

$$S_2=\frac{1}{a+d}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a+2d})$$

Теперь вычислим сумму дробей в скобках:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{a+2d}=\frac{(a+2d)+a}{a(a+2d)}=\frac{2a+2d}{a(a+2d)}=\frac{2(a+d)}{a(a+2d)}$$

Теперь подставим это в выражение для $S_2$:

$$S_2=\frac{1}{a+d}\cdot \frac{2(a+d)}{a(a+2d)}=\frac{2}{a(a+2d)}$$

Таким образом, сумма первых двух членов $S_2$ равна:

$$S_2=\frac{2}{a(a+2d)}$$

2) Сумма первых трех членов:

Теперь рассмотрим сумму первых трех членов:

$$S_3=\frac{2}{a(a+2d)}+\frac{1}{(a+2d)(a+3d)}$$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{a+2d}$:

$$S_3=\frac{1}{a+2d}(\frac{2}{a}+\frac{1}{a+3d})$$

Теперь вычислим сумму дробей в скобках:

$$\frac{2}{a}+\frac{1}{a+3d}=\frac{(a+3d)\cdot 2+a}{a(a+3d)}=\frac{2a+6d+a}{a(a+3d)}=\frac{3a+6d}{a(a+3d)}$$

Теперь подставим это в выражение для $S_3$:

$$S_3=\frac{1}{a+2d}\cdot \frac{3a+6d}{a(a+3d)}=\frac{3(a+d)}{a(a+2d)(a+3d)}$$

Таким образом, сумма первых трех членов $S_3$ равна:

$$S_3=\frac{3}{a(a+3d)}$$

3) Обобщение для всех $n$:

Наблюдаем, что каждый раз мы добавляем в сумму новый член, который включает $(a+d)$, $(a+2d)$, и так далее, с одинаковыми множителями в числителях и знаменателях для каждого шага.

Таким образом, продолжая аналогичные вычисления для всех членов, мы получаем:

$$S_n=\frac{n}{a(a+dn)}$$

Это и есть требуемое выражение для суммы, что и завершает доказательство.

Заключение:

Мы доказали тождество двумя способами:

1. Методом математической индукции, где мы показали, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для $n=k+1$.
2. Без использования индукции, пошагово разобрав вычисление суммы для первых нескольких членов и наблюдая за закономерностью.