ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя тождество, докажите неравенства:

а)

$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} < 1;$$

б)

$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{98 \cdot 99} < 0.99;$$

в)

$$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} < 0.5;$$

г)

$$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{997 \cdot 999} < 0.4996.$$

Доказать неравенство, используя тождество:

а) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} < 1$;

Значения коэффициентов:

$$a = 1;$$ $$a + d = 2 \quad => \quad d = 2 — a = 2 — 1 = 1;$$

Найдем значение суммы:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)} = \frac{n}{1 + n};$$

Докажем неравенство:

$$\frac{n}{1 + n} — 1 = \frac{n — (1 + n)}{1 + n} = -\frac{1}{1 + n} < 0;$$ $$\underline{\frac{n}{1 + n} < 1;}$$ $$S_n < 1;$$

б) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{98 \cdot 99} < 0,99$;

Значения коэффициентов:

$$a = 1;$$ $$a + d = 2 \quad => \quad d = 2 — a = 2 — 1 = 1;$$ $$a + dn = 99 \quad => \quad n = \frac{99 — a}{d} = \frac{99 — 1}{1} = 98;$$

Найдем значение суммы:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)} = \frac{98}{1 \cdot 99} = \frac{98}{99};$$

Докажем неравенство:

$$\frac{98}{99} = 0,(98) < 0,99;$$ $$S_n < 0,99;$$

в) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} < 0,5$;

Значения коэффициентов:

$$a = 1;$$ $$a + d = 3 \quad => \quad d = 3 — a = 3 — 1 = 2;$$

Найдем значение суммы:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)} = \frac{n}{1 + 2n};$$

Докажем неравенство:

$$\frac{n}{1 + 2n} — 1 = \frac{n — (1 + 2n)}{1 + 2n} = -\frac{1 + n}{1 + 2n} < 0;$$ $$\frac{n}{1 + 2n} < 1;$$ $$S_n < 0,5;$$

г) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{997 \cdot 999} < 0,4996$;

Значения коэффициентов:

$$a = 1;$$ $$a + d = 3 \quad => \quad d = 3 — a = 3 — 1 = 2;$$ $$a + dn = 999 \quad => \quad n = \frac{999 — a}{d} = \frac{999 — 1}{2} = 499;$$

Найдем значение суммы:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)} = \frac{499}{999};$$

Докажем неравенство:

$$\frac{499}{999} = 0,(499) \leq 0,4996;$$

$$S_n < 0,4996;$$

а) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} < 1$;

1) Определим коэффициенты:

Рассмотрим сумму:

$$S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}.$$

Здесь каждый член имеет вид $\frac{1}{k(k+1)}$, где $k = 1, 2, 3, \ldots, n$.

По аналогии с тождеством из задачи 6.11, определим коэффициенты:

• $a = 1$ — это первый множитель в знаменателе первого члена.
• $a + d = 2$ — это второй множитель в знаменателе первого члена.

Из уравнения $a + d = 2$ находим:

$$d = 2 — a = 2 — 1 = 1.$$

Таким образом, $a = 1$ и $d = 1$.

2) Найдем значение суммы:

Теперь воспользуемся тождеством из задачи 6.11 для вычисления суммы.

Тождество утверждает, что:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)}.$$

Подставим значения $a = 1$ и $d = 1$:

$$S_n = \frac{n}{1(1 + n)} = \frac{n}{1 + n}.$$

3) Доказательство неравенства:

Нам нужно доказать, что $S_n < 1$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Для этого вычислим разницу между $S_n$ и 1:

$$S_n — 1 = \frac{n}{1 + n} — 1.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$S_n — 1 = \frac{n}{1 + n} — \frac{1 + n}{1 + n} = \frac{n — (1 + n)}{1 + n} = \frac{-1}{1 + n}.$$

Так как $n \geq 1$, то $1 + n > 0$, и поэтому $\frac{-1}{1 + n} < 0$. Следовательно, $S_n < 1$.

Таким образом, неравенство доказано:

$$S_n < 1.$$

б) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{98 \cdot 99} < 0,99$;

1) Определим коэффициенты:

Рассмотрим сумму:

$$S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{98 \cdot 99}.$$

Здесь каждый член имеет вид $\frac{1}{k(k+1)}$, где $k = 1, 2, 3, \ldots, n$.

По аналогии с тождеством из задачи 6.11, определим коэффициенты:

• $a = 1$ — это первый множитель в знаменателе первого члена.
• $a + d = 2$ — это второй множитель в знаменателе первого члена.

Из уравнения $a + d = 2$ находим:

$$d = 2 — a = 2 — 1 = 1.$$

Таким образом, $a = 1$ и $d = 1$.

2) Найдем значение суммы:

Теперь воспользуемся тождеством из задачи 6.11 для вычисления суммы.

Тождество утверждает, что:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)}.$$

Подставим значения $a = 1$ и $d = 1$:

$$S_n = \frac{n}{1(1 + n)} = \frac{n}{1 + n}.$$

Для $n = 98$ подставим в выражение:

$$S_n = \frac{98}{1 + 98} = \frac{98}{99}.$$

3) Доказательство неравенства:

Теперь нам нужно доказать, что $S_n < 0,99$ для $n = 98$.

Вычислим значение $\frac{98}{99}$:

$$\frac{98}{99} \approx 0,9899.$$

Очевидно, что $0,9899 < 0,99$, и, следовательно:

$$S_n < 0,99.$$

Таким образом, неравенство доказано:

$$S_n < 0,99.$$

в) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} < 0,5$;

1) Определим коэффициенты:

Рассмотрим сумму:

$$S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.$$

Здесь каждый член имеет вид $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$, где $k = 1, 2, 3, \ldots, n$.

По аналогии с тождеством из задачи 6.11, определим коэффициенты:

• $a = 1$ — это первый множитель в знаменателе первого члена.
• $a + d = 3$ — это второй множитель в знаменателе первого члена.

Из уравнения $a + d = 3$ находим:

$$d = 3 — a = 3 — 1 = 2.$$

Таким образом, $a = 1$ и $d = 2$.

2) Найдем значение суммы:

Теперь воспользуемся тождеством из задачи 6.11 для вычисления суммы.

Тождество утверждает, что:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)}.$$

Подставим значения $a = 1$ и $d = 2$:

$$S_n = \frac{n}{1(1 + 2n)} = \frac{n}{1 + 2n}.$$

3) Доказательство неравенства:

Теперь нам нужно доказать, что $S_n < 0,5$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Вычислим разницу между $S_n$ и 0,5:

$$S_n — 0,5 = \frac{n}{1 + 2n} — 0,5 = \frac{n}{1 + 2n} — \frac{1 + 2n}{2(1 + 2n)} = \frac{2n — (1 + 2n)}{2(1 + 2n)} = \frac{-1}{2(1 + 2n)}.$$

Так как $n \geq 1$, то $1 + 2n > 0$, и следовательно, $\frac{-1}{2(1 + 2n)} < 0$. Это означает, что $S_n < 0,5$.

Таким образом, неравенство доказано:

$$S_n < 0,5.$$

г) $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{997 \cdot 999} < 0,4996$;

1) Определим коэффициенты:

Рассмотрим сумму:

$$S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{997 \cdot 999}.$$

Здесь каждый член имеет вид $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$, где $k = 1, 2, 3, \ldots, n$.

По аналогии с тождеством из задачи 6.11, определим коэффициенты:

• $a = 1$ — это первый множитель в знаменателе первого члена.
• $a + d = 3$ — это второй множитель в знаменателе первого члена.

Из уравнения $a + d = 3$ находим:

$$d = 3 — a = 3 — 1 = 2.$$

Таким образом, $a = 1$ и $d = 2$.

2) Найдем значение суммы:

Теперь воспользуемся тождеством из задачи 6.11 для вычисления суммы.

Тождество утверждает, что:

$$S_n = \frac{n}{a(a + dn)}.$$

Подставим значения $a = 1$ и $d = 2$:

$$S_n = \frac{n}{1(1 + 2n)} = \frac{n}{1 + 2n}.$$

Для $n = 499$ подставим в выражение:

$$S_n = \frac{499}{1 + 2 \cdot 499} = \frac{499}{999}.$$

3) Доказательство неравенства:

Теперь нам нужно доказать, что $S_n < 0,4996$ для $n = 499$.

Вычислим значение $\frac{499}{999}$:

$$\frac{499}{999} \approx 0,4995.$$

Очевидно, что $0,4995 \leq 0,4996$, и следовательно:

$$S_n < 0,4996.$$

Таким образом, неравенство доказано:

$$S_n < 0,4996.$$

Итог:

• Для части (а) $S_n < 1$,
• Для части (б) $S_n < 0,99$,
• Для части (в) $S_n < 0,5$,
• Для части (г) $S_n < 0,4996$.