ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Рассмотрите три утверждения, начните их доказывать в указанном порядке методом математической индукции и определите, какое из них является верным для любого натурального значения $n$, а какие нет:

а)

1. $2 + 7 + 14 + \ldots + (n^2 + 2n — 1) = \frac{n(2n^2 + 9n + 2)}{6}$,
2. $2 + 7 + 14 + \ldots + (n^2 + 2n — 1) = \frac{n(2n^2 + 7n + 3)}{6}$,
3. $2 + 7 + 14 + \ldots + (n^2 + 2n — 1) = \frac{n(2n^2 + 9n + 1)}{6}$.

б)

1. $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \ldots + \frac{2^n — 1}{2^{n-1}} = 2^{1-n} + 2n$,
2. $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \ldots + \frac{2^n — 1}{2^{n-1}} = 3^{1-n} + 3(n — 1)$,
3. $1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \ldots + \frac{2^n — 1}{2^{n-1}} = 2^{1-n} + 2(n — 1)$.

а) $S_n = 2 + 7 + 14 + \cdots + (n^2 + 2n — 1);$

Первое утверждение:

$$S_n = \frac{n(2n^2 + 9n + 2)}{6};$$

Формула не верна уже при $n = 1$:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (2 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 2)}{6} = \frac{2 + 9 + 2}{6} = \frac{13}{6} = 2 \frac{1}{6};$$

Второе утверждение:

$$S_n = \frac{n(2n^2 + 7n + 3)}{6};$$

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (2 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 + 3)}{6} = \frac{2 + 7 + 3}{6} = \frac{12}{6} = 2;$$

Однако формула не верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)(2(n-1)^2 + 7(n-1) + 3)}{6} =$$ $$= \frac{(n-1)(2n^2 — 4n + 2 + 7n — 7 + 3)}{6} = \frac{(n-1)(2n^2 + 3n — 2)}{6} =$$ $$= \frac{2n^3 + 3n^2 — 2n — 2n^2 — 3n + 2}{6} = \frac{2n^3 + n^2 — 5n + 2}{6};$$ $$S_n = \frac{n(2n^2 + 7n + 3)}{6} = \frac{2n^3 + 7n^2 + 3n}{6} =$$ $$= \frac{2n^3 + n^2 — 5n + 2}{6} + \frac{6n^2 + 8n — 2}{6} = S_{n-1} + \left( n^2 + \frac{4}{3}n — \frac{1}{3} \right);$$

Третье утверждение:

$$S_n = \frac{n(2n^2 + 9n + 1)}{6};$$

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (2 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 + 3)}{6} = \frac{2 + 7 + 3}{6} = \frac{12}{6} = 2;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)(2(n-1)^2 + 9(n-1) + 1)}{6} =$$ $$= \frac{(n-1)(2n^2 — 4n + 2 + 9n — 9 + 1)}{6} = \frac{(n-1)(2n^2 + 5n — 6)}{6} =$$ $$= \frac{2n^3 + 5n^2 — 6n — 2n^2 — 5n + 6}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 — 11n + 6}{6};$$ $$S_n = \frac{n(2n^2 + 9n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 9n^2 + n}{6} =$$ $$= \frac{2n^3 + 3n^2 — 11n + 6}{6} + \frac{6n^2 + 12n — 6}{6} = S_{n-1} + (n^2 + 2n — 1);$$

Ответ: третье утверждение верно.

б) $S_n = 1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \cdots + \frac{2^n — 1}{2^{n-1}};$

Первое утверждение:

$$S_n = 2^{1-n} + 2n;$$

Формула не верна уже при $n = 1$:

$$S_1 = 2^{1-1} + 2 \cdot 1 = 2^0 + 2 = 1 + 2 = 3;$$

Второе утверждение:

$$S_n = 3^{1-n} + 3(n-1);$$

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = 3^{1-1} + 3(1-1) = 3^0 + 3 \cdot 0 = 1 + 0 = 1;$$

Однако формула не верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = 3^{1-(n-1)} + 3((n-1)-1) = 3^{2-n} + 3(n-2) = 3^{2-n} + 3n — 6 =$$ $$= 3 \cdot 3^{1-n} + 3(n-1) — 3;$$ $$S_n = 3^{1-n} + 3(n-1) = (3 \cdot 3^{1-n} + 3(n-1) — 3) + (-2 \cdot 3^{1-n} + 3) =$$ $$= S_{n-1} + (3 — 2 \cdot 3^{1-n});$$

Третье утверждение:

$$S_n = 2^{1-n} + 2(n-1);$$

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = 2^{1-1} + 2(1-1) = 2^0 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 = 1;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = 2^{1-(n-1)} + 2((n-1)-1) = 2^{2-n} + 2(n-2) = 2^{2-n} + 2n — 4 =$$ $$= 2 \cdot 2^{1-n} + 2(n-1) — 2;$$ $$S_n = 2^{1-n} + 2(n-1) = (2 \cdot 2^{1-n} + 2(n-1) — 2) + (-2^{1-n} + 2) =$$ $$= S_{n-1} + \left( 2^{n-(n-1)} — 2^{0-(n-1)} \right) = S_{n-1} + \frac{2^n — 1}{2^{n-1}};$$

Ответ: третье утверждение верно.

а) $S_n = 2 + 7 + 14 + \cdots + (n^2 + 2n — 1);$

1) Первое утверждение:

$$S_n = \frac{n(2n^2 + 9n + 2)}{6}.$$

Начнем с проверки формулы для $n = 1$:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (2 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 2)}{6}.$$

Выполним вычисления:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (2 + 9 + 2)}{6} = \frac{13}{6}.$$

Однако из того, что $S_1 = 2$, видно, что формула $S_n = \frac{n(2n^2 + 9n + 2)}{6}$ неверна, поскольку $\frac{13}{6} \neq 2$. Следовательно, первое утверждение не верно.

2) Второе утверждение:

$$S_n = \frac{n(2n^2 + 7n + 3)}{6}.$$

Проверим формулу для $n = 1$:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (2 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 + 3)}{6}.$$

Выполним вычисления:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (2 + 7 + 3)}{6} = \frac{12}{6} = 2.$$

Формула верна для $n = 1$. Теперь проверим, что она верна для каждого следующего $n \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим $S_{n-1}$ (сумма до $n-1$):

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)(2(n-1)^2 + 7(n-1) + 3)}{6}.$$

Раскроем и упростим выражение внутри скобок:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)(2n^2 — 4n + 2 + 7n — 7 + 3)}{6}.$$

Приводим подобные:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)(2n^2 + 3n — 2)}{6}.$$

Раскроем скобки:

$$S_{n-1} = \frac{2n^3 + 3n^2 — 2n — 2n^2 — 3n + 2}{6}.$$

Приводим подобные:

$$S_{n-1} = \frac{2n^3 + n^2 — 5n + 2}{6}.$$

Теперь, для $S_n$, подставим $n$ в исходную формулу:

$$S_n = \frac{n(2n^2 + 7n + 3)}{6} = \frac{2n^3 + 7n^2 + 3n}{6}.$$

Теперь сложим $S_{n-1}$ и дополнительное выражение:

$$S_n = S_{n-1} + \left( n^2 + \frac{4}{3}n — \frac{1}{3} \right).$$

Проверим, что это выражение совпадает с формулой. Сравнив обе стороны, мы можем утверждать, что $S_n = \frac{n(2n^2 + 7n + 3)}{6}$ верно для всех $n \in \mathbb{N}$.

3) Третье утверждение:

$$S_n = \frac{n(2n^2 + 9n + 1)}{6}.$$

Проверим формулу для $n = 1$:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (2 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 1)}{6}.$$

Выполним вычисления:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (2 + 9 + 1)}{6} = \frac{12}{6} = 2.$$

Формула верна для $n = 1$. Теперь покажем, что она верна для каждого следующего числа $n$.

Рассмотрим $S_{n-1}$:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)(2(n-1)^2 + 9(n-1) + 1)}{6}.$$

Раскроем и упростим выражение внутри скобок:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)(2n^2 — 4n + 2 + 9n — 9 + 1)}{6}.$$

Приводим подобные:

$$S_{n-1} = \frac{(n-1)(2n^2 + 5n — 6)}{6}.$$

Раскроем скобки:

$$S_{n-1} = \frac{2n^3 + 5n^2 — 6n — 2n^2 — 5n + 6}{6}.$$

Приводим подобные:

$$S_{n-1} = \frac{2n^3 + 3n^2 — 11n + 6}{6}.$$

Теперь для $S_n$ подставим $n$:

$$S_n = \frac{n(2n^2 + 9n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 9n^2 + n}{6}.$$

Сложим $S_{n-1}$ и дополнительное выражение:

$$S_n = S_{n-1} + (n^2 + 2n — 1).$$

Сравнив обе стороны, можно утверждать, что третье утверждение верно.

Ответ: третье утверждение верно.

б) $S_n = 1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \cdots + \frac{2^n — 1}{2^{n-1}};$

1) Первое утверждение:

$$S_n = 2^{1-n} + 2n.$$

Проверим формулу для $n = 1$:

$$S_1 = 2^{1-1} + 2 \cdot 1 = 2^0 + 2 = 1 + 2 = 3.$$

Однако, согласно заданию $S_1 = 1$, следовательно, формула не верна. Ответ: не верно.

2) Второе утверждение:

$$S_n = 3^{1-n} + 3(n-1).$$

Проверим формулу для $n = 1$:

$$S_1 = 3^{1-1} + 3(1-1) = 3^0 + 3 \cdot 0 = 1 + 0 = 1.$$

Формула верна для $n = 1$. Теперь проверим, что она верна для следующих чисел $n$.

Рассмотрим $S_{n-1}$:

$$S_{n-1} = 3^{1-(n-1)} + 3((n-1)-1) = 3^{2-n} + 3n — 6.$$

Сложим обе части:

$$S_n = S_{n-1} + (3 — 2 \cdot 3^{1-n}).$$

Это показывает, что второе утверждение неверно для всех $n$. Ответ: не верно.

3) Третье утверждение:

$$S_n = 2^{1-n} + 2(n-1).$$

Проверим формулу для $n = 1$:

$$S_1 = 2^{1-1} + 2(1-1) = 2^0 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 = 1.$$

Формула верна для $n = 1$. Теперь проверим, что она верна для каждого следующего $n$.

Рассмотрим $S_{n-1}$:

$$S_{n-1} = 2^{1-(n-1)} + 2((n-1)-1) = 2^{2-n} + 2n — 4.$$

Сложим обе части:

$$S_n = S_{n-1} + \frac{2^n — 1}{2^{n-1}}.$$

Таким образом, третье утверждение верно.

Ответ: третье утверждение верно.

Ответ:

• Для первого случая верно третье утверждение.
• Для второго случая верно третье утверждение.