ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что для любого натурального значения n справедливо утверждение:

а) $a_n = (n^3 + 35n) : 6$;

б) $a_n = (n^3 + 3n^2 + 8n) : 3$;

в) $a_n = (n^5 — n) : 30$;

г) $a_n = (2n^3 + 3n^2 + 7n) : 6$

а) $a_n = (n^3 + 35n) : 6$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 1^3 + 35 \cdot 1 = 1 + 35 = 36 : 6;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$a_{n+1}=\frac{(n+1{)}^3+35(n+1)}{6}=\frac{n^3+3n^2+3n+1+35n+35}{6}=$$

$$a_{n+1} = \frac{(n+1)^3 + 35(n+1)}{6} = \frac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 35n + 35}{6} =$$ $$=\frac{n^3+3n^2+38n+36}{6}=\frac{n^3+35n}{6}+\frac{3n^2+3n+6}{6}=\frac{a_n}{6}+(\frac{n^2+n}{2}+1)=$$

$$= \frac{n^3 + 3n^2 + 38n + 36}{6} = \frac{n^3 + 35n}{6} + \frac{3n^2 + 3n + 6}{6} = \frac{a_n}{6} + \left( \frac{n^2 + n}{2} + 1 \right) = \frac{a_n}{6} + \left( \frac{n(n+1)}{2} + 1 \right) \in \mathbb{N};$$

Среди чисел $n(n+1)$ одно кратно двум.

б) $a_n = (n^3 + 3n^2 + 8n) : 3$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 = 1 + 3 + 8 = 12 : 3;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$a_{n+1} = \frac{(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 8(n+1)}{3} =$$ $$= \frac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 3n^2 + 6n + 3 + 8n + 8}{3} = \frac{n^3 + 6n^2 + 17n + 12}{3} =$$ $$= \frac{n^3 + 3n^2 + 8n}{3} + \frac{3n^2 + 9n + 12}{3} = \frac{a_n}{3} + (n^2 + 3n + 4) \in \mathbb{N};$$

в) $a_n = (n^5 — n) : 30$;

Преобразуем выражение:

$$n^5 — n = n(n^4 — 1) = n(n^2 — 1)(n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2 + 1);$$

Среди чисел $(n-1)n(n+1)$ есть как минимум одно число, кратное двум, и ровно одно число, кратное трем, значит их произведение кратно шести, то есть требуется доказать, что:

$$a_n = \frac{n^5 — n}{5};$$

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 1^5 — 1 = 1 — 1 = 0 : 5;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$a_{n+1} = \frac{(n+1)^5 — (n+1)}{5} = \frac{n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 — n — 1}{5} =$$ $$= \frac{n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 4n}{5} = \frac{n^5 — n}{5} + \frac{5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n}{5} =$$ $$= \frac{a_n}{5} + (n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n) \in \mathbb{N};$$

г) $a_n = (2n^3 + 3n^2 + 7n) : 6$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 = 2 + 3 + 7 = 12 : 6;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$a_{n+1} = \frac{2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 7(n+1)}{6} =$$ $$= \frac{2n^3 + 6n^2 + 6n + 2 + 3n^2 + 6n + 3 + 7n + 7}{6} = \frac{2n^3 + 9n^2 + 19n + 12}{6} =$$ $$= \frac{2n^3 + 3n^2 + 7n}{6} + \frac{6n^2 + 12n + 12}{6} = \frac{a_n}{6} + (n^2 + 2n + 2) \in \mathbb{N};$$

Теперь все выражения используют знак деления $:$ в соответствии с вашим запросом.

а) $a_n = (n^3 + 35n) : 6$

Шаг 1: Проверка для $n = 1$

Подставляем $n = 1$ в выражение для $a_n$:

$$a_1 = (1^3 + 35 \cdot 1) : 6 = (1 + 35) : 6 = 36 : 6 = 6$$

Вывод: Кратность выполняется, так как результат $36 : 6 = 6$ — целое число.

Шаг 2: Доказательство для $n + 1$

Теперь доказуем, что кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$. Для этого подставим $n + 1$ в выражение для $a_n$:

$$a_{n+1} = \frac{(n+1)^3 + 35(n+1)}{6}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$$ $$35(n+1) = 35n + 35$$

Теперь подставим эти выражения:

$$a_{n+1} = \frac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 35n + 35}{6} = \frac{n^3 + 3n^2 + 38n + 36}{6}$$

Распишем числитель как сумму:

$$a_{n+1} = \frac{n^3 + 35n}{6} + \frac{3n^2 + 3n + 6}{6}$$

Первая часть — это $a_n$, вторая часть — это выражение:

$$\frac{3n^2 + 3n + 6}{6} = \frac{3(n^2 + n + 2)}{6} = \frac{n^2 + n + 2}{2}$$

Теперь видно, что второе слагаемое $\frac{n^2 + n + 2}{2}$ всегда целое, так как выражение $n(n+1)$ всегда четное (одно из чисел $n$ или $n + 1$ всегда делится на 2). Поэтому результат $a_{n+1}$ всегда будет целым числом.

Вывод: Кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.

б) $a_n = (n^3 + 3n^2 + 8n) : 3$

Шаг 1: Проверка для $n = 1$

Подставляем $n = 1$:

$$a_1 = (1^3 + 3 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1) : 3 = (1 + 3 + 8) : 3 = 12 : 3 = 4$$

Вывод: Кратность выполняется для $n = 1$, так как $12 : 3 = 4$ — целое число.

Шаг 2: Доказательство для $n + 1$

Теперь докажем, что кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$. Для этого подставим $n + 1$ в выражение для $a_n$:

$$a_{n+1} = \frac{(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 8(n+1)}{3}$$

Раскроем скобки:

$$(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$$ $$3(n+1)^2 = 3(n^2 + 2n + 1) = 3n^2 + 6n + 3$$ $$8(n+1) = 8n + 8$$

Теперь подставим все эти выражения:

$$a_{n+1} = \frac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 3n^2 + 6n + 3 + 8n + 8}{3} = \frac{n^3 + 6n^2 + 17n + 12}{3}$$

Разделим числитель на две части:

$$a_{n+1} = \frac{n^3 + 3n^2 + 8n}{3} + \frac{3n^2 + 9n + 12}{3}$$

Первая часть — это $a_n$, а вторая часть:

$$\frac{3n^2 + 9n + 12}{3} = n^2 + 3n + 4$$

Итак:

$$a_{n+1} = a_n + (n^2 + 3n + 4)$$

Так как $n^2 + 3n + 4$ — всегда целое число, то $a_{n+1}$ также всегда будет целым числом.

Вывод: Кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.

в) $a_n = (n^5 — n) : 30$

Шаг 1: Преобразуем выражение

Рассмотрим выражение $n^5 — n$:

$$n^5 — n = n(n^4 — 1) = n(n^2 — 1)(n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2 + 1)$$

Здесь видно, что произведение $n(n-1)(n+1)$ всегда кратно 6, так как среди этих чисел одно обязательно делится на 2, а одно — на 3. Таким образом, $n^5 — n$ всегда кратно 6, и деление на 30 (кратное 5) также гарантирует целое число.

Шаг 2: Проверка для $n = 1$

Подставляем $n = 1$:

$$a_1 = (1^5 — 1) : 30 = (1 — 1) : 30 = 0 : 30 = 0$$

Вывод: Кратность выполняется для $n = 1$, так как $0 : 30 = 0$ — целое число.

Шаг 3: Доказательство для $n + 1$

Теперь докажем, что кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$. Подставим $n + 1$ в выражение для $a_n$:

$$a_{n+1} = \frac{(n+1)^5 — (n+1)}{30}$$

Раскроем степени и подставим значения:

$$(n+1)^5 = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1$$ $$(n+1) = n + 1$$

Теперь подставим это в выражение для $a_{n+1}$:

$$a_{n+1} = \frac{n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 — n — 1}{30} = \frac{n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 4n}{30}$$

Разделим на две части:

$$a_{n+1} = \frac{n^5 — n}{30} + \frac{5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n}{30}$$

Первая часть — это $a_n$, а вторая часть:

$$\frac{5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n}{30} = \frac{n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n}{6}$$

Итак:

$$a_{n+1} = a_n + \frac{n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n}{6}$$

Так как $\frac{n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n}{6}$ всегда целое число, $a_{n+1}$ всегда будет целым числом.

Вывод: Кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.

г) $a_n = (2n^3 + 3n^2 + 7n) : 6$

Шаг 1: Проверка для $n = 1$

Подставляем $n = 1$:

$$a_1 = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 = 2 + 3 + 7 = 12 : 6 = 2$$

Вывод: Кратность выполняется для $n = 1$, так как $12 : 6 = 2$ — целое число.

Шаг 2: Доказательство для $n + 1$

Теперь докажем, что кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$. Подставим $n + 1$ в выражение для $a_n$:

$$a_{n+1} = \frac{2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + 7(n+1)}{6}$$

Раскроем скобки:

$$2(n+1)^3 = 2(n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = 2n^3 + 6n^2 + 6n + 2$$ $$3(n+1)^2 = 3(n^2 + 2n + 1) = 3n^2 + 6n + 3$$ $$7(n+1) = 7n + 7$$

Теперь подставим все это в выражение для $a_{n+1}$:

$$a_{n+1} = \frac{2n^3 + 6n^2 + 6n + 2 + 3n^2 + 6n + 3 + 7n + 7}{6} = \frac{2n^3 + 9n^2 + 19n + 12}{6}$$

Разделим на две части:

$$a_{n+1} = \frac{2n^3 + 3n^2 + 7n}{6} + \frac{6n^2 + 12n + 12}{6} = \frac{a_n}{6} + (n^2 + 2n + 2)$$

Так как $n^2 + 2n + 2$ всегда целое число, то $a_{n+1}$ всегда будет целым числом.

Вывод: Кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.