ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $a_n = (7^n — 1) : 6$;

б) $a_n = (2^{2n+1} + 1) : 3$;

в) $a_n = (17^n — 1) : 16$;

г) $a_n = (13^{2n+1} + 1) : 14$

а) $a_n = (7^n — 1) : 6$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 7^1 — 1 = 7 — 1 = 6 : 6;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{6} = \frac{7^{n+1} — 1}{6} = \frac{7 \cdot 7^n — 1}{6} = \frac{7^n — 1}{6} + \frac{6 \cdot 7^n}{6} = \left( \frac{a_n}{6} + 7^n \right) \in \mathbb{N};$$

б) $a_n = (2^{2n+1} + 1) : 3$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 2^{2 \cdot 1 + 1} + 1 = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9 : 3;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{3} = \frac{2^{2(n+1)+1} + 1}{3} = \frac{2^{2n+2+1} + 1}{3} = \frac{2^2 \cdot 2^{2n+1} + 1}{3} = \frac{4 \cdot 2^{2n+1} + 1}{3} =$$ $$= \frac{2^{2n+1} + 1}{3} + \frac{3 \cdot 2^{2n+1}}{3} = \left( \frac{a_n}{3} + 2^{2n+1} \right) \in \mathbb{N};$$

в) $a_n = (17^n — 1) : 16$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 17^1 — 1 = 17 — 1 = 16 : 16;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{16} = \frac{17^{n+1} — 1}{16} = \frac{17 \cdot 17^n — 1}{16} = \frac{17^n — 1}{16} + \frac{16 \cdot 17^n}{16} = \left( \frac{a_n}{16} + 17^n \right) \in \mathbb{N};$$

г) $a_n = (13^{2n+1} + 1) : 14$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 13^{2 \cdot 1 + 1} + 1 = 13^3 + 1 = 2197 + 1 = 2198 : 14;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{14} = \frac{13^{2(n+1)+1} + 1}{14} = \frac{13^{2n+2+1} + 1}{14} = \frac{13^2 \cdot 13^{2n+1} + 1}{14} =$$ $$= \frac{169 \cdot 13^{2n+1} + 1}{14} = \frac{13^{2n+1} + 1}{14} + \frac{168 \cdot 13^{2n+1}}{14} = \left( \frac{a_n}{14} + 12 \cdot 13^{2n+1} \right) \in \mathbb{N};$$

а) $a_n = (7^n — 1) : 6$

Шаг 1: Проверка для $n = 1$

Подставим $n = 1$ в выражение для $a_n$:

$$a_1 = \frac{7^1 — 1}{6} = \frac{7 — 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Вывод: Кратность выполняется для $n = 1$, так как результат деления $6 : 6 = 1$, что является целым числом.

Шаг 2: Доказательство для $n + 1$

Теперь нужно доказать, что кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$. Для этого подставим $n+1$ в выражение для $a_n$:

$$a_{n+1} = \frac{7^{n+1} — 1}{6}$$

Раскроем $7^{n+1}$ как $7 \cdot 7^n$, используя свойство степеней:

$$a_{n+1} = \frac{7 \cdot 7^n — 1}{6}$$

Теперь выделим $7^n — 1$ и разделим его на 6:

$$a_{n+1} = \frac{7^n — 1}{6} + \frac{6 \cdot 7^n}{6}$$

Подставим $\frac{a_n}{6}$ вместо $\frac{7^n — 1}{6}$, так как это и есть значение $a_n$:

$$a_{n+1} = \frac{a_n}{6} + 7^n$$

Здесь мы видим, что $a_{n+1}$ состоит из суммы $\frac{a_n}{6}$ и $7^n$. Поскольку $7^n$ — целое число, то если $a_n$ делится на 6, то и $a_{n+1}$ будет делиться на 6. Таким образом, кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.

Вывод: Кратность выполняется при всех $n \in \mathbb{N}$.

б) $a_n = (2^{2n+1} + 1) : 3$

Шаг 1: Проверка для $n = 1$

Подставляем $n = 1$ в выражение для $a_n$:

$$a_1 = \frac{2^{2 \cdot 1 + 1} + 1}{3} = \frac{2^3 + 1}{3} = \frac{8 + 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

Вывод: Кратность выполняется для $n = 1$, так как результат деления $9 : 3 = 3$, что является целым числом.

Шаг 2: Доказательство для $n + 1$

Теперь докажем, что кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$. Подставим $n+1$ в выражение для $a_n$:

$$a_{n+1} = \frac{2^{2(n+1)+1} + 1}{3}$$

Раскроем степень:

$$a_{n+1} = \frac{2^{2n+2+1} + 1}{3} = \frac{2^{2n+3} + 1}{3}$$

Теперь выделим $2^{2n+1} + 1$ и разложим выражение:

$$a_{n+1} = \frac{4 \cdot 2^{2n+1} + 1}{3}$$

Теперь раскроем выражение на две части:

$$a_{n+1} = \frac{2^{2n+1} + 1}{3} + \frac{3 \cdot 2^{2n+1}}{3}$$

Первая часть — это $a_n$, а вторая часть:

$$\frac{3 \cdot 2^{2n+1}}{3} = 2^{2n+1}$$

Таким образом:

$$a_{n+1} = \frac{a_n}{3} + 2^{2n+1}$$

Поскольку $2^{2n+1}$ — целое число, результат $a_{n+1}$ всегда будет целым, если $a_n$ делится на 3.

Вывод: Кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.

в) $a_n = (17^n — 1) : 16$

Шаг 1: Проверка для $n = 1$

Подставляем $n = 1$ в выражение для $a_n$:

$$a_1 = \frac{17^1 — 1}{16} = \frac{17 — 1}{16} = \frac{16}{16} = 1$$

Вывод: Кратность выполняется для $n = 1$, так как результат деления $16 : 16 = 1$, что является целым числом.

Шаг 2: Доказательство для $n + 1$

Теперь докажем, что кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$. Подставим $n+1$ в выражение для $a_n$:

$$a_{n+1} = \frac{17^{n+1} — 1}{16}$$

Раскроем $17^{n+1}$ как $17 \cdot 17^n$:

$$a_{n+1} = \frac{17 \cdot 17^n — 1}{16}$$

Теперь разложим на две части:

$$a_{n+1} = \frac{17^n — 1}{16} + \frac{16 \cdot 17^n}{16}$$

Первая часть — это $a_n$, а вторая часть:

$$\frac{16 \cdot 17^n}{16} = 17^n$$

Таким образом:

$$a_{n+1} = \frac{a_n}{16} + 17^n$$

Поскольку $17^n$ — целое число, то $a_{n+1}$ всегда будет целым числом, если $a_n$ делится на 16.

Вывод: Кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.

г) $a_n = (13^{2n+1} + 1) : 14$

Шаг 1: Проверка для $n = 1$

Подставляем $n = 1$ в выражение для $a_n$:

$$a_1 = \frac{13^{2 \cdot 1 + 1} + 1}{14} = \frac{13^3 + 1}{14} = \frac{2197 + 1}{14} = \frac{2198}{14} = 157$$

Вывод: Кратность выполняется для $n = 1$, так как результат деления $2198 : 14 = 157$, что является целым числом.

Шаг 2: Доказательство для $n + 1$

Теперь докажем, что кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$. Подставим $n+1$ в выражение для $a_n$:

$$a_{n+1} = \frac{13^{2(n+1)+1} + 1}{14}$$

Раскроем степень:

$$a_{n+1} = \frac{13^{2n+2+1} + 1}{14} = \frac{13^{2n+3} + 1}{14}$$

Теперь разложим выражение:

$$a_{n+1} = \frac{13^2 \cdot 13^{2n+1} + 1}{14} = \frac{169 \cdot 13^{2n+1} + 1}{14}$$

Разделим на две части:

$$a_{n+1} = \frac{13^{2n+1} + 1}{14} + \frac{168 \cdot 13^{2n+1}}{14}$$

Первая часть — это $a_n$, а вторая часть:

$$\frac{168 \cdot 13^{2n+1}}{14} = 12 \cdot 13^{2n+1}$$

Таким образом:

$$a_{n+1} = \frac{a_n}{14} + 12 \cdot 13^{2n+1}$$

Поскольку $12 \cdot 13^{2n+1}$ всегда целое число, $a_{n+1}$ всегда будет целым числом.

Вывод: Кратность выполняется для всех $n \in \mathbb{N}$.