ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) 7 + 8 + 9 … + (n + 6);

б) 2 + 11 + 20 + … + (9n — 7);

в) 1,35 + 1,4 + 1,45 + … + (0,05n + 1,3);

г) 0,(3) + 0,(5) + 0,(7) + … + (0,(2) n + 0,(1) ).

а) $S_n = 7 + 8 + 9 + \cdots (n+6);$

Имеем арифметическую прогрессию, в которой:

• $a_1 = 7$ и $d = 1$;
• $a_n = a_1 + d(n-1) = 7 + 1(n-1) = 7 + n — 1 = n + 6$;

Сумма первых $n$ членов последовательности:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{7 + n + 6}{2} \cdot n = \frac{(13 + n)n}{2};$$

Ответ: $\frac{(13 + n)n}{2}$.

б) $S_n = 2 + 11 + 20 + \cdots (9n-7);$

Имеем арифметическую прогрессию, в которой:

• $a_1 = 2$ и $d = 9$;
• $a_n = a_1 + d(n-1) = 2 + 9(n-1) = 2 + 9n — 9 = 9n — 7$;

Сумма первых $n$ членов последовательности:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2 + 9n — 7}{2} \cdot n = \frac{(9n — 5)n}{2};$$

Ответ: $\frac{(9n — 5)n}{2}$.

в) $S_n = 1,35 + 1,4 + 1,45 + \cdots (0,05n + 1,3);$

Имеем арифметическую прогрессию, в которой:

• $a_1 = 1,35$ и $d = 0,05$;
• $a_n = a_1 + d(n-1)$;
• $a_n = 1,35 + 0,05(n-1) = 1,35 + 0,05n — 0,05 = 0,05n + 1,3$;

Сумма первых $n$ членов последовательности:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1,35 + 0,05n + 1,3}{2} \cdot n = \frac{(0,05n + 2,65)n}{2};$$ $$S_n = \frac{(0,05n + 2,65)n \cdot 20}{2 \cdot 20} = \frac{(n + 53)n}{40};$$

Ответ: $\frac{(n + 53)n}{40}$.

г) $S_n = 0,(3) + 0,(5) + 0,(7) + \cdots \big(0,(2)n + 0,(1)\big);$

Имеем арифметическую прогрессию, в которой:

• $a_1 = 0,(3) = \frac{3}{9}$ и $d = 0,(2) = \frac{2}{9}$;
• $a_n = a_1 + d(n-1)$;
• $a_n = \frac{3}{9} + \frac{2}{9}(n-1) = \frac{3}{9} + \frac{2n}{9} — \frac{2}{9} = \frac{2n + 1}{9}$;

Сумма первых $n$ членов последовательности:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{\frac{3}{9} + \frac{2n + 1}{9}}{2} \cdot n = \frac{\frac{3 + 2n + 1}{9}}{2} \cdot n = \frac{\frac{2n + 4}{9}}{2} \cdot n = \frac{2n + 4}{2 \cdot 9} \cdot n = \frac{(n + 2)n}{9};$$

Ответ: $\frac{(n + 2)n}{9}$.

а) $S_n = 7 + 8 + 9 + \cdots (n+6);$

Шаг 1: Определим параметры арифметической прогрессии.

Имеем сумму чисел от 7 до $n + 6$. Сначала определим первый член прогрессии и разность между соседними членами:

• $a_1 = 7$ — первый член прогрессии,
• $d = 1$ — разность прогрессии, так как каждый следующий член увеличивается на 1.

Таким образом, прогрессия имеет вид: $7, 8, 9, \dots, n + 6$, что является арифметической прогрессией с первым членом 7 и разностью 1.

Шаг 2: Выведем формулу для общего члена прогрессии.

Формула для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Подставим значения $a_1 = 7$ и $d = 1$:

$$a_n = 7 + 1(n — 1) = 7 + n — 1 = n + 6$$

Таким образом, формула для общего члена прогрессии: $a_n = n + 6$.

Шаг 3: Найдем сумму первых $n$ членов прогрессии.

Сумма $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

Подставим значения $a_1 = 7$ и $a_n = n + 6$:

$$S_n = \frac{7 + (n + 6)}{2} \cdot n = \frac{13 + n}{2} \cdot n = \frac{(13 + n)n}{2}$$

Ответ: $S_n = \frac{(13 + n)n}{2}$.

б) $S_n = 2 + 11 + 20 + \cdots (9n — 7);$

Шаг 1: Определим параметры арифметической прогрессии.

Сначала определим первый член и разность между соседними членами прогрессии.

• $a_1 = 2$ — первый член прогрессии,
• $d = 9$ — разность прогрессии, так как каждый следующий член увеличивается на 9.

Таким образом, прогрессия имеет вид: $2, 11, 20, \dots, 9n — 7$.

Шаг 2: Выведем формулу для общего члена прогрессии.

Формула для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Подставим значения $a_1 = 2$ и $d = 9$:

$$a_n = 2 + 9(n — 1) = 2 + 9n — 9 = 9n — 7$$

Таким образом, формула для общего члена прогрессии: $a_n = 9n — 7$.

Шаг 3: Найдем сумму первых $n$ членов прогрессии.

Сумма $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

Подставим значения $a_1 = 2$ и $a_n = 9n — 7$:

$$S_n = \frac{2 + (9n — 7)}{2} \cdot n = \frac{9n — 5}{2} \cdot n = \frac{(9n — 5)n}{2}$$

Ответ: $S_n = \frac{(9n — 5)n}{2}$.

в) $S_n = 1,35 + 1,4 + 1,45 + \cdots (0,05n + 1,3);$

Шаг 1: Определим параметры арифметической прогрессии.

Сначала определим первый член и разность между соседними членами прогрессии.

• $a_1 = 1,35$ — первый член прогрессии,
• $d = 0,05$ — разность прогрессии, так как каждый следующий член увеличивается на 0,05.

Таким образом, прогрессия имеет вид: $1,35, 1,4, 1,45, \dots, 0,05n + 1,3$.

Шаг 2: Выведем формулу для общего члена прогрессии.

Формула для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Подставим значения $a_1 = 1,35$ и $d = 0,05$:

$$a_n = 1,35 + 0,05(n — 1) = 1,35 + 0,05n — 0,05 = 0,05n + 1,3$$

Таким образом, формула для общего члена прогрессии: $a_n = 0,05n + 1,3$.

Шаг 3: Найдем сумму первых $n$ членов прогрессии.

Сумма $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

Подставим значения $a_1 = 1,35$ и $a_n = 0,05n + 1,3$:

$$S_n = \frac{1,35 + (0,05n + 1,3)}{2} \cdot n = \frac{0,05n + 2,65}{2} \cdot n = \frac{(0,05n + 2,65)n}{2}$$

Теперь умножим на 20 для удобства:

$$S_n = \frac{(0,05n + 2,65)n \cdot 20}{2 \cdot 20} = \frac{(n + 53)n}{40}$$

Ответ: $S_n = \frac{(n + 53)n}{40}$.

г) $S_n = 0,(3) + 0,(5) + 0,(7) + \cdots \big(0,(2)n + 0,(1)\big);$

Шаг 1: Определим параметры арифметической прогрессии.

Сначала определим первый член и разность между соседними членами прогрессии.

• $a_1 = 0,(3) = \frac{3}{9}$ — первый член прогрессии,
• $d = 0,(2) = \frac{2}{9}$ — разность прогрессии, так как каждый следующий член увеличивается на $\frac{2}{9}$.

Таким образом, прогрессия имеет вид: $0,(3), 0,(5), 0,(7), \dots, 0,(2)n + 0,(1)$.

Шаг 2: Выведем формулу для общего члена прогрессии.

Формула для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Подставим значения $a_1 = \frac{3}{9}$ и $d = \frac{2}{9}$:

$$a_n = \frac{3}{9} + \frac{2}{9}(n — 1) = \frac{3}{9} + \frac{2n}{9} — \frac{2}{9} = \frac{2n + 1}{9}$$

Таким образом, формула для общего члена прогрессии: $a_n = \frac{2n + 1}{9}$.

Шаг 3: Найдем сумму первых $n$ членов прогрессии.

Сумма $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

Подставим значения $a_1 = \frac{3}{9}$ и $a_n = \frac{2n + 1}{9}$:

$$S_n = \frac{\frac{3}{9} + \frac{2n + 1}{9}}{2} \cdot n = \frac{\frac{3 + 2n + 1}{9}}{2} \cdot n = \frac{\frac{2n + 4}{9}}{2} \cdot n = \frac{2n + 4}{2 \cdot 9} \cdot n = \frac{(n + 2)n}{9}$$

Ответ: $S_n = \frac{(n + 2)n}{9}$.