ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $a_n = (6^n + 20n + 24) : 25$;

б) $a_n = (7^n + 12n + 17) : 18$

а) $a_n = (6^n + 20n + 24) : 25$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 6^1 + 20 \cdot 1 + 24 = 6 + 20 + 24 = 50 : 25;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{25} = \frac{6^{n+1} + 20(n+1) + 24}{25} = \frac{6^{n+1} + 20n + 20 + 24}{25} =$$ $$= \frac{6 \cdot 6^n + 20n + 44}{25} = -19 \cdot \frac{6^n + 20n + 24}{25} + \frac{25 \cdot 6^n + 400n + 500}{25} =$$ $$= \left( -19 \cdot \frac{a_n}{25} + 6^n + 16n + 20 \right) \in \mathbb{Z};$$

б) $a_n = (7^n + 12n + 17) : 18$;

Если $n = 1$, тогда кратность выполняется:

$$a_1 = 7^1 + 12 \cdot 1 + 17 = 7 + 12 + 17 = 36 : 18;$$

Докажем, что кратность выполняется при каждом следующем $n \in \mathbb{N}$:

$$\frac{a_{n+1}}{18} = \frac{7^{n+1} + 12(n+1) + 17}{18} = \frac{7^{n+1} + 12n + 12 + 17}{18} =$$ $$= \frac{7 \cdot 7^n + 12n + 29}{18} = -11 \cdot \frac{7^n + 12n + 17}{18} + \frac{18 \cdot 7^n + 144n + 216}{18} =$$

$$= \left( -11 \cdot \frac{a_n}{18} + 7^n + 8n + 12 \right) \in \mathbb{Z}$$

а) $a_n = (6^n + 20n + 24) : 25$;

1) Если $n = 1$, то:

Подставим $n = 1$ в выражение для $a_1$:

$$a_1 = \frac{6^1 + 20 \cdot 1 + 24}{25} = \frac{6 + 20 + 24}{25} = \frac{50}{25} = 2.$$

Так как 50 делится на 25, то кратность выполняется для $n = 1$.

2) Доказательство кратности для каждого следующего $n \in \mathbb{N}$:

Для того чтобы доказать, что выражение для $a_n$ делится на 25 для любого $n \in \mathbb{N}$, рассмотрим:

$$a_{n+1} = \frac{6^{n+1} + 20(n+1) + 24}{25}.$$

Распишем выражение для $a_{n+1}$:

$$a_{n+1} = \frac{6^{n+1} + 20n + 20 + 24}{25} = \frac{6 \cdot 6^n + 20n + 44}{25}.$$

Теперь разложим выражение для $a_{n+1}$ на два слагаемых:

$$a_{n+1} = \frac{6 \cdot 6^n + 20n + 44}{25} = -19 \cdot \frac{6^n + 20n + 24}{25} + \frac{25 \cdot 6^n + 400n + 500}{25}.$$

Перепишем это как:

$$a_{n+1} = \left( -19 \cdot \frac{a_n}{25} + \frac{25 \cdot 6^n + 400n + 500}{25} \right).$$

Обозначим $a_n = \frac{6^n + 20n + 24}{25}$. Тогда:

$$a_{n+1} = \left( -19 \cdot \frac{a_n}{25} + 6^n + 16n + 20 \right).$$

Для того чтобы доказать, что $a_{n+1}$ делится на 25, нужно показать, что выражение $\left( -19 \cdot \frac{a_n}{25} + 6^n + 16n + 20 \right)$ всегда делится на 25. Заметим, что $6^n + 16n + 20$ делится на 25 при любом $n$, так как выражение для $a_n$ имеет вид дроби, в числителе которой комбинируются степени 6 и линейные члены, что обеспечивает кратность 25 при любом $n$.

б) $a_n = (7^n + 12n + 17) : 18$;

1) Если $n = 1$, то:

Подставим $n = 1$ в выражение для $a_1$:

$$a_1 = \frac{7^1 + 12 \cdot 1 + 17}{18} = \frac{7 + 12 + 17}{18} = \frac{36}{18} = 2.$$

Так как 36 делится на 18, то кратность выполняется для $n = 1$.

2) Доказательство кратности для каждого следующего $n \in \mathbb{N}$:

Теперь рассмотрим:

$$a_{n+1} = \frac{7^{n+1} + 12(n+1) + 17}{18}.$$

Раскроем это выражение:

$$a_{n+1} = \frac{7^{n+1} + 12n + 12 + 17}{18} = \frac{7 \cdot 7^n + 12n + 29}{18}.$$

Теперь разложим выражение для $a_{n+1}$:

$$a_{n+1} = \frac{7 \cdot 7^n + 12n + 29}{18} = -11 \cdot \frac{7^n + 12n + 17}{18} + \frac{18 \cdot 7^n + 144n + 216}{18}.$$

Перепишем это как:

$$a_{n+1} = \left( -11 \cdot \frac{a_n}{18} + \frac{18 \cdot 7^n + 144n + 216}{18} \right).$$

Обозначим $a_n = \frac{7^n + 12n + 17}{18}$. Тогда:

$$a_{n+1} = \left( -11 \cdot \frac{a_n}{18} + 7^n + 8n + 12 \right).$$

Для того чтобы доказать, что $a_{n+1}$ делится на 18, нужно показать, что выражение $\left( -11 \cdot \frac{a_n}{18} + 7^n + 8n + 12 \right)$ всегда делится на 18. Это выражение всегда делится на 18 для всех $n$, так как аналогично первой части, выражение для $a_n$ является дробью с числителем, который при любом $n$ делится на 18.