ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выведите формулу $n$-го члена последовательности $(a_n)$, заданной рекуррентным соотношением:

а) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + n$; докажите, что $a_n = \frac{(n-1)n}{2}$;

б) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + n^2$; докажите, что $a_n = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$;

в) $a_1 = -13$, $a_{n+1} = a_n + 3n$; докажите, что $a_n = \frac{(3n-29)n}{2}$;

г) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = a_n + n^3$; докажите, что $a_n = \frac{(n-1)^2 n^2}{4}$.

а) Доказать, что если $a_1=0$ и $a_{n+1}=a_n+n$, тогда $a_n=\frac{(n-1)n}{2}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$a_1=\frac{(1-1)\cdot 1}{2}=\frac{0\cdot 1}{2}=0;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$a_{n+1}=\frac{((n+1)-1)(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n^2-n}{2}+\frac{2n}{2}=$$$$=\frac{n(n-1)}{2}+n=a_n+n;$$

б) Доказать, что если $a_1=0$ и $a_{n+1}=a_n+n^2$, тогда $a_n=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$a_1=\frac{(1-1)\cdot 1\cdot (2\cdot 1-1)}{6}=\frac{0\cdot (2-1)}{6}=0;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$a_n=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\frac{(n^2-n)(2n-1)}{6}=\frac{2n^3-n^2-2n^2+n}{6}=$$$$=\frac{2n^3-3n^2+n}{6};$$$$a_{n+1}=\frac{((n+1)-1)(n+1)(2(n+1)-1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=$$$$=\frac{(n^2+n)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+n^2+2n^2+n}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}=$$$$=\frac{2n^3-3n^2+n}{6}+\frac{6n^2}{6}=a_n+n^2;$$

в) Доказать, что если $a_1=-13$ и $a_{n+1}=a_n+3n$, тогда $a_n=\frac{(3n-29)n}{2}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$a_1=\frac{(3\cdot 1-29)\cdot 1}{2}=\frac{3-29}{2}=\frac{-26}{2}=-13;$$

Однако формула не верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$a_{n+1}=\frac{(3(n+1)-29)(n+1)}{2}=\frac{(3n+3-29)(n+1)}{2}=$$$$=\frac{(3n-26)(n+1)}{2}=\frac{3n^2+3n-26n-26}{2}=\frac{3n^2-23n-26}{2}=$$$$=\frac{3n^2-29n}{2}+\frac{6n-26}{2}=\frac{(3n-29)n}{2}+(3n-13)=a_n+3n-13;$$

В условии ошибка — формулы задают разные последовательности;

г) Доказать, что если $a_1=0$ и $a_{n+1}=a_n+n^3$, тогда $a_n=\frac{(n-1{)}^2\cdot n^2}{4}$;

Если $n=1$, тогда формула верна:

$$a_1=\frac{(1-1{)}^2\cdot 1^2}{4}=\frac{0\cdot 1}{4}=0;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n\in \mathbb{N}$:

$$a_n=\frac{(n-1{)}^2\cdot n^2}{4}=\frac{(n^2-2n+1)\cdot n^2}{4}=\frac{n^4-2n^3+n^2}{4};$$$$a_{n+1}=\frac{((n+1)-1{)}^2\cdot (n+1{)}^2}{4}=\frac{n^2\cdot (n^2+2n+1)}{4}=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}=$$$$=\frac{n^4-2n^3+n^2}{4}+\frac{4n^3}{4}=a_n+n^3$$

а) Доказать, что если $a_1=0$ и $a_{n+1}=a_n+n$, тогда $a_n=\frac{(n-1)n}{2}$;

Шаг 1. Проверка для $n=1$

Необходимо убедиться, что формула $a_n=\frac{(n-1)n}{2}$ верна для $n=1$.

Подставляем $n=1$ в формулу:

$$a_1=\frac{(1-1)\cdot 1}{2}=\frac{0\cdot 1}{2}=0.$$

Так как $a_1=0$, что соответствует данным в задаче, формула верна для $n=1$.

Шаг 2. Доказательство по индукции

Теперь докажем, что формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$, используя метод математической индукции.

• База индукции: для $n=1$ формула верна, как мы только что показали.
• Шаг индукции: допустим, что формула верна для некоторого $n=k$, то есть:

$$a_k=\frac{(k-1)k}{2}\mathrm{.}$$

Необходимо доказать, что формула верна для $n=k+1$, то есть:

$$a_{k+1}=\frac{(k+1-1)(k+1)}{2}=\frac{k(k+1)}{2}\mathrm{.}$$

По условию задачи известно, что:

$$a_{k+1}=a_k+k\mathrm{.}$$

Подставим в это выражение $a_k$ из гипотезы индукции:

$$a_{k+1}=\frac{(k-1)k}{2}+k\mathrm{.}$$

Теперь приведем к общему знаменателю:

$$a_{k+1}=\frac{(k-1)k}{2}+\frac{2k}{2}=\frac{k^2-k+2k}{2}=\frac{k^2+k}{2}=\frac{k(k+1)}{2}\mathrm{.}$$

Это именно та формула, которую мы хотели доказать. Таким образом, формула верна для $n=k+1$.

Так как база индукции верна и шаг индукции выполнен, по принципу математической индукции, формула $a_n=\frac{(n-1)n}{2}$ верна для всех $n\in \mathbb{N}$.

б) Доказать, что если $a_1=0$ и $a_{n+1}=a_n+n^2$, тогда $a_n=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$;

Шаг 1. Проверка для $n=1$

Подставим $n=1$ в формулу:

$$a_1=\frac{(1-1)\cdot 1\cdot (2\cdot 1-1)}{6}=\frac{0\cdot (2-1)}{6}=0.$$

Это совпадает с заданным значением $a_1=0$, значит, формула верна для $n=1$.

Шаг 2. Доказательство по индукции

Докажем, что формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$, используя метод математической индукции.

• База индукции: для $n=1$ формула верна, как мы только что показали.
• Шаг индукции: допустим, что формула верна для $n=k$, то есть:

$$a_k=\frac{(k-1)k(2k-1)}{6}\mathrm{.}$$

Необходимо доказать, что формула верна для $n=k+1$, то есть:

$$a_{k+1}=\frac{(k+1-1)(k+1)(2(k+1)-1)}{6}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\mathrm{.}$$

Из условия задачи знаем, что:

$$a_{k+1}=a_k+k^2\mathrm{.}$$

Подставим в это выражение $a_k$ из гипотезы индукции:

$$a_{k+1}=\frac{(k-1)k(2k-1)}{6}+k^2\mathrm{.}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$a_{k+1}=\frac{(k-1)k(2k-1)}{6}+\frac{6k^2}{6}=\frac{(k-1)k(2k-1)+6k^2}{6}\mathrm{.}$$

Теперь раскроем скобки:

$$a_{k+1}=\frac{k^3-k^2+2k^3-k^2+6k^2}{6}=\frac{3k^3+4k^2}{6}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\mathrm{.}$$

Это именно та формула, которую мы хотели доказать. Таким образом, формула верна для $n=k+1$.

По принципу математической индукции, формула $a_n=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ верна для всех $n\in \mathbb{N}$.

в) Доказать, что если $a_1=-13$ и $a_{n+1}=a_n+3n$, тогда $a_n=\frac{(3n-29)n}{2}$;

Шаг 1. Проверка для $n=1$

Подставим $n=1$ в формулу:

$$a_1=\frac{(3\cdot 1-29)\cdot 1}{2}=\frac{3-29}{2}=\frac{-26}{2}=-13.$$

Это совпадает с заданным значением $a_1=-13$, значит, формула верна для $n=1$.

Шаг 2. Проверка на следующее значение $n=2$

Посмотрим, как ведет себя последовательность для $n=2$. Для $n=2$ по рекуррентному соотношению:

$$a_2=a_1+3\cdot 1=-13+3=-10.$$

Теперь подставим $n=2$ в формулу $a_n=\frac{(3n-29)n}{2}$:

$$a_2=\frac{(3\cdot 2-29)\cdot 2}{2}=\frac{(6-29)\cdot 2}{2}=\frac{-23\cdot 2}{2}=-23.$$

Таким образом, формула не совпадает с последовательностью, что указывает на ошибку в условии задачи.

Следовательно, формула не подходит для этой задачи, и присутствует ошибка в условии.

г) Доказать, что если $a_1=0$ и $a_{n+1}=a_n+n^3$, тогда $a_n=\frac{(n-1{)}^2\cdot n^2}{4}$;

Шаг 1. Проверка для $n=1$

Подставим $n=1$ в формулу:

$$a_1=\frac{(1-1{)}^2\cdot 1^2}{4}=\frac{0\cdot 1}{4}=0.$$

Это совпадает с заданным значением $a_1=0$, значит, формула верна для $n=1$.

Шаг 2. Доказательство по индукции

Докажем, что формула верна для всех $n\in \mathbb{N}$, используя метод математической индукции.

• База индукции: для $n=1$ формула верна, как мы только что показали.
• Шаг индукции: допустим, что формула верна для $n=k$, то есть:

$$a_k=\frac{(k-1{)}^2\cdot k^2}{4}\mathrm{.}$$

Необходимо доказать, что формула верна для $n=k+1$, то есть:

$$a_{k+1}=\frac{(k+1-1{)}^2\cdot (k+1{)}^2}{4}=\frac{k^2(k+1{)}^2}{4}\mathrm{.}$$

Из условия задачи знаем, что:

$$a_{k+1}=a_k+k^3\mathrm{.}$$

Подставим в это выражение $a_k$ из гипотезы индукции:

$$a_{k+1}=\frac{(k-1{)}^2\cdot k^2}{4}+k^3\mathrm{.}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$a_{k+1}=\frac{(k-1{)}^2\cdot k^2}{4}+\frac{4k^3}{4}=\frac{(k-1{)}^2\cdot k^2+4k^3}{4}\mathrm{.}$$

Теперь раскроем скобки:

$$a_{k+1}=\frac{k^4-2k^3+k^2+4k^3}{4}=\frac{k^4+2k^3+k^2}{4}=\frac{k^2(k+1{)}^2}{4}\mathrm{.}$$

Это именно та формула, которую мы хотели доказать. Таким образом, формула верна для $n=k+1$.

По принципу математической индукции, формула $a_n=\frac{(n-1{)}^2\cdot n^2}{4}$ верна для всех $n\in \mathbb{N}$.