ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что количество разных непустых наборов, которые можно сделать из n различных предметов, равно $2^n$ — 1.

б) Докажите, что n различных предметов можно расставить в ряд n! способами (см. № 1.36).

а) Доказать, что количество различных сочетаний из $n$ предметов равно:
$Q_n = 2^n — 1;$

1. Из одного предмета можно составить только одно сочетание, а каждый новый предмет можно добавить в уже имеющиеся сочетания (тем самым удвоив их количество), а также можно составить единственное сочетание с этим предметом, то есть:
   $Q_1 = 1 \quad \text{и} \quad Q_{n+1} = 2Q_n + 1;$
2. Если $n = 1$, тогда формула верна:
   $Q_1 = 2^1 — 1 = 2 — 1 = 1;$
3. Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:
   $Q_{n+1} = 2^{n+1} — 1 = 2 \cdot 2^n — 1 = 2 \cdot 2^n — 2 + 1 = 2(2^n — 1) + 1 = 2Q_n + 1;$

б) Доказать, что $n$ различных предметов можно расставить в ряд $n!$ способами;

1. Один предмет можно разместить только одним способом, а каждый новый предмет можно добавить в уже существующие ряды на каждое из $n$ различных мест, то есть:
   $P_1 = 1 \quad \text{и} \quad P_n = P_{n-1} \cdot n;$
2. Если $n = 1$, тогда формула верна:
   $P_1 = 1! = 1;$
3. Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:
   $P_{n-1} = (n-1)!;$
   $P_n = n! = n \cdot (n-1)! = n \cdot P_{n-1};$

а) Доказать, что количество различных сочетаний из $n$ предметов равно:

$Q_n = 2^n — 1$

1) Обоснование рекуррентной формулы:

Рассмотрим, что такое сочетания из $n$ предметов. Мы можем выбрать любые подмножества из этих $n$ предметов. Каждое подмножество может быть либо включено в наше сочетание, либо нет. Для каждого предмета существует два варианта: включить его в подмножество или не включить. Таким образом, для $n$ предметов общее количество подмножеств будет равно $2^n$, так как для каждого предмета есть два варианта.

Однако важно заметить, что одно из этих подмножеств — это пустое подмножество (то есть отсутствие всех предметов). Поскольку мы рассматриваем только не пустые сочетания, то необходимо исключить пустое подмножество, что приводит к количеству сочетаний:

$$Q_n = 2^n — 1.$$

2) Формула для $n = 1$:

Для $n = 1$ у нас есть только один предмет. Мы можем составить из него одно сочетание — это сам предмет. Пустое подмножество исключается, и получается, что:

$$Q_1 = 2^1 — 1 = 2 — 1 = 1.$$

Таким образом, формула верна для $n = 1$.

3) Доказательство для всех $n \in \mathbb{N}$:

Мы доказали, что формула верна для $n = 1$. Теперь покажем, что она справедлива для всех $n \in \mathbb{N}$ с помощью индукции.

• База индукции: для $n = 1$ мы уже показали, что $Q_1 = 1$.
• Шаг индукции: предположим, что формула справедлива для некоторого $n$, то есть:

$$Q_n = 2^n — 1.$$

Теперь покажем, что формула верна для $n + 1$.

Мы знаем, что для $n$ предметов количество сочетаний $Q_n$ равно $2^n — 1$. Если добавим $n+1$-й предмет, то каждая из уже существующих комбинаций может быть либо с этим новым предметом, либо без него. Таким образом, для каждого из $Q_n$ сочетаний будет два варианта: добавить новый предмет или не добавлять. Это удваивает количество сочетаний.

Кроме того, мы можем составить новое сочетание, состоящее только из одного нового предмета. Таким образом, общее количество сочетаний для $n + 1$ предметов будет:

$$Q_{n+1} = 2Q_n + 1.$$

Подставим $Q_n = 2^n — 1$ (по индукционному предположению):

$$Q_{n+1} = 2(2^n — 1) + 1 = 2^{n+1} — 2 + 1 = 2^{n+1} — 1.$$

Это и есть нужная нам формула для $n + 1$.

Таким образом, по принципу математической индукции, формула $Q_n = 2^n — 1$ верна для всех $n \in \mathbb{N}$.

б) Доказать, что $n$ различных предметов можно расставить в ряд $n!$ способами.

1) Обоснование рекуррентной формулы:

Рассмотрим задачу: нам нужно расставить $n$ различных предметов в ряд. Первый предмет можно выбрать любым из $n$ способов. После того как мы выбрали первый предмет, второй предмет можно выбрать из оставшихся $n — 1$ предметов, третий — из оставшихся $n — 2$ предметов, и так далее.

Таким образом, общее количество способов расставить $n$ предметов в ряд — это произведение:

$$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1 = n!.$$

Это и есть количество перестановок $n$ различных предметов.

2) Формула для $n = 1$:

Для $n = 1$ у нас есть только один предмет, и его можно расставить в единственный способ. Таким образом:

$$P_1 = 1! = 1.$$

Формула верна для $n = 1$.

3) Доказательство для всех $n \in \mathbb{N}$:

Теперь докажем, что формула верна для всех $n \in \mathbb{N}$ с помощью индукции.

• База индукции: для $n = 1$ мы уже показали, что $P_1 = 1$.
• Шаг индукции: предположим, что формула справедлива для некоторого $n$, то есть:

$$P_n = n!.$$

Теперь покажем, что формула верна для $n + 1$.

Для $n + 1$ предметов, первый предмет можно выбрать $n + 1$ способами. После этого остаётся $n$ предметов, и для их расставления существует $P_n$ способов (по предположению индукции). Таким образом, количество способов расставить $n + 1$ предметов в ряд будет:

$$P_{n+1} = (n+1) \cdot P_n = (n+1) \cdot n!.$$

Но по определению, $(n+1) \cdot n! = (n+1)!$. Таким образом, для $n + 1$ предметов справедлива формула $P_{n+1} = (n+1)!$.

По принципу математической индукции, формула $P_n = n!$ верна для всех $n \in \mathbb{N}$.

Таким образом, мы доказали обе задачи:

1. Количество различных сочетаний из $n$ предметов равно $Q_n = 2^n — 1$.
2. $n$ различных предметов можно расставить в ряд $n!$ способами.