ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что любое натуральное число h > 4 можно представить в виде h=3m + 5n, где m и n — целые числа.

Доказать, что любое натуральное число $h > 4$ можно представить как

$h = 3m + 5n,$

где $m$ и $n$ — целые числа.

При $h = 5$ такие целые числа $m$ и $n$ существуют:

$h = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1.$

Допустим, что равенство выполняется для некоторого числа $h_k$:

$h_k = 3m_k + 5n_k.$

Докажем, что равенство выполняется и для следующего числа $h_{k+1}$:

$h_{k+1} = 3m_{k+1} + 5n_{k+1};$
$h_{k+1} = h_k + 1;$
$h_{k+1} = (3m_k + 5n_k) + 1 = 3m_k + 6 + 5n_k — 5 = 2(m_k + 2) + 5(n_k — 1).$

Таким образом, $m_{k+1} = m_k + 2$ и $n_{k+1} = n_k — 1$, значит такие целые числа $m$ и $n$ существуют для любого следующего натурального числа, что и требовалось доказать.

Доказать, что любое натуральное число $h > 4$ можно представить как

$$h = 3m + 5n,$$

где $m$ и $n$ — целые числа.

1) База индукции (для $h = 5$):

Начнем с самого маленького числа, которое удовлетворяет условиям задачи. Пусть $h = 5$.

Мы должны представить $h = 5$ в виде $h = 3m + 5n$, где $m$ и $n$ — целые числа.

Просто подставим:

$$5 = 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1.$$

Здесь $m = 0$ и $n = 1$, что является решением для $h = 5$.

Таким образом, для $h = 5$ такие целые числа $m$ и $n$ существуют. Мы доказали базу индукции.

2) Шаг индукции (предположение для некоторого $h_k$):

Теперь предположим, что равенство $h_k = 3m_k + 5n_k$ выполняется для некоторого натурального числа $h_k$. Это означает, что для данного числа $h_k$ мы можем найти целые числа $m_k$ и $n_k$, которые удовлетворяют уравнению.

Нашей целью является доказать, что для числа $h_{k+1} = h_k + 1$ также можно найти такие целые числа $m_{k+1}$ и $n_{k+1}$, которые удовлетворяют тому же уравнению.

3) Докажем, что для $h_{k+1} = h_k + 1$ существует решение:

Итак, $h_{k+1} = h_k + 1$. Подставим $h_k = 3m_k + 5n_k$ (по предположению индукции):

$$h_{k+1} = h_k + 1 = (3m_k + 5n_k) + 1.$$

Теперь преобразуем это выражение:

$$h_{k+1} = 3m_k + 5n_k + 1.$$

Наша задача — выразить $h_{k+1}$ в виде $h_{k+1} = 3m_{k+1} + 5n_{k+1}$, где $m_{k+1}$ и $n_{k+1}$ — целые числа. Попробуем преобразовать выражение:

$$h_{k+1} = 3m_k + 5n_k + 1 = 3m_k + 6 + 5n_k — 5.$$

Теперь сгруппируем элементы:

$$h_{k+1} = 2(m_k + 2) + 5(n_k — 1).$$

Обратите внимание, что $2(m_k + 2)$ — это выражение, которое делится на 2, и $5(n_k — 1)$ — выражение, которое делится на 5. Нам нужно, чтобы выражение имело вид $3m_{k+1} + 5n_{k+1}$, поэтому давайте перепишем его так:

$$h_{k+1} = 3(m_k + 2) + 5(n_k — 1).$$

Таким образом, мы можем выбрать $m_{k+1} = m_k + 2$ и $n_{k+1} = n_k — 1$, чтобы удовлетворить уравнению:

$$h_{k+1} = 3(m_k + 2) + 5(n_k — 1).$$

4) Завершающий шаг индукции:

Мы показали, что если для некоторого $h_k$ существует представление $h_k = 3m_k + 5n_k$, то для $h_{k+1} = h_k + 1$ также существует представление в виде $h_{k+1} = 3m_{k+1} + 5n_{k+1}$, где $m_{k+1} = m_k + 2$ и $n_{k+1} = n_k — 1$.

Таким образом, если представление $h_k = 3m_k + 5n_k$ выполняется для некоторого $h_k$, то оно выполняется и для $h_{k+1}$.

5) Заключение:

Мы доказали, что для $h = 5$ существует представление $h = 3m + 5n$, и показали, что если это представление существует для некоторого $h_k$, то оно существует и для $h_{k+1}$. Следовательно, по принципу математической индукции, любое натуральное число $h > 4$ можно представить как сумму $h = 3m + 5n$, где $m$ и $n$ — целые числа.