ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите методом математической индукции, что у выпуклого n-угольника (n $\ge$ 3):

а) сумма внутренних углов равна 180°(n — 2);

б) число диагоналей $D_n = \frac{n(n — 3)}{2}, \text{ где } n \geq 3;$

а) Доказать, что сумма внутренних углов $n$-угольника равна:
$S_n = 180^\circ \cdot (n — 2), \text{ где } n \geq 3;$

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$, а каждый следующий $n$-угольник можно создать из предыдущего, добавляя одну новую вершину и соединяя её с двумя соседними, тем самым добавляя к прежней фигуре ещё один треугольник, значит:
$S_3 = 180^\circ \quad \text{и} \quad S_{n+1} = S_n + 180^\circ;$

Если $n = 3$, тогда формула верна:
$S_3 = 180^\circ \cdot (3 — 2) = 180^\circ;$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n+1} = 180^\circ \cdot \big((n + 1) — 2\big) = 180^\circ \cdot (n — 1) = 180^\circ \cdot n — 180^\circ =$$ $$= 180^\circ \cdot n — 360^\circ + 180^\circ = 180^\circ \cdot (n — 2) + 180^\circ = S_n + 180^\circ;$$

б) Доказать, что число диагоналей $n$-угольника равно:
$D_n = \frac{n(n — 3)}{2}, \text{ где } n \geq 3;$

Треугольник не имеет диагоналей, а от каждой новой вершины можно провести диагонали к каждой прежней вершине, кроме двух соседних (они являются сторонами $n$-угольника), то есть:
$D_3 = 0 \quad \text{и} \quad D_n = D_{n-1} + (n — 2);$

Если $n = 3$, тогда формула верна:
$D_3 = \frac{3 \cdot (3 — 3)}{2} = \frac{3 \cdot 0}{2} = 0;$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$D_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)-3)}{2} = \frac{(n-1)(n-4)}{2} = \frac{n^2 — 5n + 4}{2};$$ $$D_n = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{n^2 — 3n}{2} = \frac{n^2 — 5n + 4}{2} + \frac{2n — 4}{2} = D_{n-1} + (n — 2)$$

а) Доказать, что сумма внутренних углов $n$-угольника равна:

$$S_n = 180^\circ \cdot (n — 2), \text{ где } n \geq 3;$$

1) Начнем с простого случая.

Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$, и это известно, так как треугольник — самая простая многоугольная фигура, в которой сумма углов всегда 180°.

Теперь рассмотрим $n$-угольник. Каждый следующий многоугольник можно получить из предыдущего, добавляя одну новую вершину и соединяя её с двумя соседними вершинами. В результате такого действия добавляется новый треугольник, так как одна из новых сторон является стороной многоугольника, а две другие соединяют новую вершину с соседними.

Таким образом, если сумма углов для треугольника равна $180^\circ$, то для многоугольников с $n$ вершинами сумма углов получается путём последовательного добавления углов нового треугольника к предыдущей сумме. Например:

• Сумма углов для треугольника: $S_3 = 180^\circ$.
• Для четырёхугольника (квадрата) добавляется еще один треугольник, и сумма углов будет $S_4 = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.
• Для пятиугольника добавляется ещё один треугольник, и сумма углов будет $S_5 = 360^\circ + 180^\circ = 540^\circ$, и так далее.

Таким образом, для $n$-угольника мы можем записать следующее рекурсивное соотношение:

$$S_3 = 180^\circ$$ $$S_{n+1} = S_n + 180^\circ.$$

2) Проверка для $n = 3$.

Подставим $n = 3$ в формулу:

$$S_3 = 180^\circ \cdot (3 — 2) = 180^\circ.$$

Сумма углов треугольника действительно равна $180^\circ$, что подтверждает правильность формулы для $n = 3$.

3) Докажем для любого $n \in \mathbb{N}$.

Для доказательства рассмотрим $S_{n+1}$, то есть сумму углов для многоугольника с $n+1$ вершинами:

$$S_{n+1} = 180^\circ \cdot \big((n + 1) — 2\big) = 180^\circ \cdot (n — 1).$$

Теперь разложим это выражение:

$$S_{n+1} = 180^\circ \cdot n — 180^\circ.$$

Давайте перепишем это выражение, используя сумму $S_n$:

$$S_{n+1} = 180^\circ \cdot n — 360^\circ + 180^\circ = 180^\circ \cdot (n — 2) + 180^\circ.$$

По предыдущему рекурсивному соотношению:

$$S_{n+1} = S_n + 180^\circ.$$

Это доказывает, что формула верна для любого $n \in \mathbb{N}$, так как $S_{n+1}$ выражается через сумму углов для многоугольника с $n$ вершинами.

б) Доказать, что число диагоналей $n$-угольника равно:

$$D_n = \frac{n(n — 3)}{2}, \text{ где } n \geq 3;$$

1) Начнем с простого случая.

Треугольник не имеет диагоналей, так как диагональ — это отрезок, соединяющий две невидимые друг для друга вершины. В треугольнике все вершины видны друг другу, и диагонали не существуют. Таким образом:

$$D_3 = 0.$$

Теперь рассмотрим $n$-угольник. Мы можем провести диагонали от каждой вершины к остальным вершинам, кроме двух соседних (они уже являются сторонами $n$-угольника). Таким образом, от каждой вершины можно провести $n — 3$ диагоналей (поскольку не считаем её саму и её два соседних вершин).

Так как диагонали, проведённые из каждой вершины, дублируются (например, диагональ, проведенная из вершины $A$ в вершину $B$, будет дублироваться диагональю, проведённой из вершины $B$ в вершину $A$), то общее количество диагоналей в $n$-угольнике рассчитывается как:

$$D_n = \frac{n(n — 3)}{2}.$$

2) Проверка для $n = 3$.

Подставим $n = 3$ в формулу для диагоналей:

$$D_3 = \frac{3(3 — 3)}{2} = \frac{3 \cdot 0}{2} = 0.$$

Это правильно, так как треугольник не имеет диагоналей.

3) Докажем для любого $n \in \mathbb{N}$.

Рассмотрим диагонали для многоугольника с $n$ вершинами. Обозначим число диагоналей для многоугольника с $n$ вершинами как $D_n$, а число диагоналей для многоугольника с $n-1$ вершинами — как $D_{n-1}$.

От каждой вершины многоугольника с $n$ вершинами можно провести $n — 3$ диагоналей (кроме двух соседей). Следовательно:

$$D_n = D_{n-1} + (n — 2),$$

где $D_{n-1}$ — количество диагоналей для многоугольника с $n — 1$ вершинами, а $(n — 2)$ — это число диагоналей, которые можно провести от новой вершины.

Для доказательства, что эта формула верна, выразим $D_{n-1}$:

$$D_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1)-3)}{2} = \frac{(n-1)(n-4)}{2} = \frac{n^2 — 5n + 4}{2}.$$

Теперь подставим это в выражение для $D_n$:

$$D_n = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{n^2 — 3n}{2}.$$

Рассмотрим, как можно представить $D_n$ как сумму $D_{n-1}$ и дополнительных диагоналей:

$$D_n = \frac{n^2 — 5n + 4}{2} + \frac{2n — 4}{2} = D_{n-1} + (n — 2).$$

Таким образом, мы доказали, что формула для диагоналей верна для любого $n$.