ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $1-2+3-4+5-6+\cdots +n(-1{)}^{n+1}$;

б) $-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+\cdots +(-1{)}^n\cdot n^2$;

в) $0+3+2+5+4+7+6+\cdots +(n+(-1{)}^n)$;

г) $2-6+12-20+\cdots +(-1{)}^{n+1}\cdot (n^2+n)$

а) $S_n=1-2+3-4+5-6+\cdots +n(-1{)}^{n+1}$;

Если $n$ — нечетное число, то есть $n=2k-1$, имеем:

$$S_n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots +n(-1{)}^{n+1}=$$$$=(-1)+(-1)+(-1)+\cdots +n(-1{)}^{n+1}=$$$$=(-1)\cdot \frac{n-1}{2}+n(-1{)}^{n+1}=\frac{1-n}{2}+n\cdot 1=$$$$=\frac{1-n}{2}+\frac{2n}{2}=\frac{1+n}{2}=\frac{1+(2k-1)}{2}=\frac{2k}{2}=k;$$

Если $n$ — четное число, то есть $n=2k$, имеем:

$$a_n=n(-1{)}^{n+1}=-n;$$$$a_{n-1}=(n-1)(-1{)}^{n+1}=(n-1);$$$$S_n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots +(n-(n-1))=$$$$=(-1)+(-1)+(-1)+\cdots +(-1)=(-1)\cdot \frac{n}{2}=-\frac{n}{2}=-\frac{2k}{2}=-k;$$

Ответ:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}k,& \text{если }n=2k-1\\ -k,& \text{если }n=2k\end{array}$$

б) $S_n=-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+\cdots +(-1{)}^n\cdot n^2$;

Если $n$ — нечетное число, то есть $n=2k-1$, имеем:

$$S_n=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+(6^2-5^2)+\cdots +(-1{)}^n\cdot n^2=$$$$=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+(6-5)(6+5)+\cdots +(-1{)}^n\cdot n^2=$$$$=1+2+3+4+5+6+\cdots +(-1{)}^n\cdot n^2=$$$$=\frac{1+(n-1)}{2}\cdot (n-1)+(-1{)}^n\cdot n^2=\frac{n(n-1)}{2}-n^2=\frac{n^2-n}{2}-\frac{2n^2}{2}=$$$$=\frac{-n-n^2}{2}=\frac{(2k-1)-(2k-1{)}^2}{2}=\frac{-2k+1-4k^2+4k-1}{2}=$$$$=\frac{2k-4k^2}{2}=k-2k^2=k(1-2k);$$

Если $n$ — четное число, то есть $n=2k$, имеем:

$$a_n=(-1{)}^n\cdot n^2=n^2;$$$$a_{n-1}=(-1{)}^{n-1}\cdot (n-1{)}^2=-(n-1{)}^2;$$$$S_n=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+(6^2-5^2)+\cdots +(n^2-(n-1{)}^2)=$$$$=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+(6-5)(6+5)+\cdots +(n+n-1)=$$$$=1+2+3+4+5+6+\cdots +n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}=\frac{2k+(2k{)}^2}{2}=$$$$=\frac{2k+4k^2}{2}=k+2k=k(1+2k);$$

Ответ:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}k(1-2k),& \text{если }n=2k-1\\ k(2k+1),& \text{если }n=2k\end{array}$$

в) $S_n=0+3+2+5+4+7+6+\cdots +(n+(-1{)}^n)$;

Если $n$ — нечетное число, то есть $n=2k-1$, имеем:

$$S_n=0+2+3+4+5+6+\cdots +((n-1)+(-1{)}^{n-1})+(n+(-1{)}^n)=$$$$=1+(2+3+4+5+\cdots +(n-1+1)+(n-1))-1=$$$$=1+2+3+4+5+\cdots +(n-1)+n-1=\frac{1+n}{2}\cdot n-1=\frac{n(n+1)}{2}-1;$$

Если $n$ — четное число, то есть $n=2k$, имеем:

$$S_n=0+2+3+4+5+6+\cdots +(n+(-1{)}^n)=$$$$=2+3+4+5+6+\cdots +(n+1)=1+2+3+4+5+6+\cdots +n=$$$$=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n(n+1)}{2};$$

Ответ:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n(n+1)}{2}-1,& \text{если }n=2k-1\\ \frac{n(n+1)}{2},& \text{если }n=2k\end{array}$$

г) $S_n=2-6+12-20+\cdots +(-1{)}^{n+1}\cdot (n^2+n)$;

Если $n$ — нечетное число, то есть $n=2k-1$, имеем:

$$a_n=(-1{)}^{n+1}\cdot (n^2+n)=n^2+n;$$$$a_{n-1}=(-1{)}^{(n-1)+1}\cdot ((n-1{)}^2+(n-1))=-(n^2-n);$$$$a_{n-2}=(-1{)}^{(n-2)+1}\cdot ((n-2{)}^2+(n-2))=(n^2-3n+2);$$$$S_n=(2-6)+(12-20)+(30-42)+\cdots +(n^2-3n+2)+(n^2+n)=$$$$=-4-8-12-\cdots -(-2n+2)+(n^2+n)=$$$$=-(4+8+12+\cdots +(2n-2))+(n^2+n)=$$$$=-\frac{4+(2n-2)}{2}\cdot \frac{n-1}{2}+(n^2+n)=-\frac{2+2n}{2}\cdot \frac{n-1}{2}+n^2+n=$$$$=-\frac{(n+1)(n-1)}{2}+\frac{2(n^2+n)}{2}=\frac{-(n^2-1)+2n^2+2n}{2}=$$$$=\frac{2n^2+2n-n^2+1}{2}=\frac{n^2+2n+1}{2}=\frac{(2k-1{)}^2+2(2k-1)+1}{2}=$$$$=\frac{4k^2-4k+1+4k-2+1}{2}=\frac{4k^2}{2}=2k^2;$$

Если $n$ — четное число, то есть $n=2k$, имеем:

$$a_n=(-1{)}^{n+1}\cdot (n^2+n)=-(n^2+n);$$$$a_{n-1}=(-1{)}^{(n-1)+1}\cdot ((n-1{)}^2+(n-1))=(n^2-n);$$$$S_n=(2-6)+(12-20)+(30-42)+\cdots +(-(n^2+n))+(n^2-n)=$$$$=-4-8-12-\cdots -2n=-(4+8+12+\cdots +2n)=-\frac{4+2n}{2}\cdot \frac{n}{2}=$$$$=-\frac{4\cdot 2k+2\cdot (2k{)}^2}{4}=-\frac{8k+8k^2}{4}=-2k-2k^2=-2k(1+k);$$

Ответ:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}2k^2,& \text{если }n=2k-1\\ -2k(k+1),& \text{если }n=2k\end{array}$$

а) $S_n=1-2+3-4+5-6+\cdots +n(-1{)}^{n+1}$;

Шаг 1: Понимание структуры последовательности.

Последовательность состоит из чередующихся положительных и отрицательных чисел. Мы можем разделить её на пары:

$$(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots$$

Где каждый член с отрицательным знаком представляет собой пару $(2k-1)-2k$, то есть разность двух последовательных чисел.

Шаг 2: Рассмотрим два случая: $n$ — нечетное или четное.

1) Если $n$ — нечетное, то есть $n=2k-1$:

Тогда $n$ состоит из $k$ пар и одного дополнительного элемента на конце (так как $n$ нечетное). Рассмотрим сумму:

$$S_n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots +(2k-1-2k)+(2k-1)=$$

$$=(-1)+(-1)+\cdots +(-1)+(2k-1)$$

• Каждая пара даёт сумму $-1$.
• Всего таких пар $k-1$, так как $n=2k-1$, и остаётся последний элемент $2k-1$.

Таким образом, сумма будет:

$$S_n=(-1)\cdot (k-1)+(2k-1)$$

Преобразуем:

$$S_n=\frac{1-n}{2}+n\cdot 1=\frac{1-n}{2}+\frac{2n}{2}=\frac{1+n}{2}$$

Так как $n=2k-1$, подставляем $n=2k-1$:

$$S_n=\frac{1+(2k-1)}{2}=\frac{2k}{2}=k$$

2) Если $n$ — четное, то есть $n=2k$:

Тогда $n$ состоит из $k$ пар, и сумма будет выглядеть так:

$$S_n=(1-2)+(3-4)+(5-6)+\cdots +(2k-1-2k)$$

• Каждая пара даёт сумму $-1$.
• Всего таких пар $k$, и нет дополнительного члена, так как $n$ четное.

Таким образом, сумма будет:

$$S_n=(-1)\cdot k=-k$$

Так как $n=2k$, это выражение также верно.

Ответ:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}k,& \text{если }n=2k-1\\ -k,& \text{если }n=2k\end{array}$$

б) $S_n=-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+\cdots +(-1{)}^n\cdot n^2$;

Шаг 1: Понимание структуры последовательности.

Последовательность состоит из чередующихся квадратов чисел с отрицательными и положительными знаками:

$$(-1^2+2^2)+(-3^2+4^2)+(-5^2+6^2)+\cdots$$

Каждая пара членов имеет вид:

$$(-k^2+(k+1{)}^2)$$

где $k$ — нечетное число.

Шаг 2: Рассмотрим два случая: $n$ — нечетное или четное.

1) Если $n$ — нечетное, то есть $n=2k-1$:

Тогда $n$ состоит из $k$ полных пар и одного дополнительного числа в конце. Рассмотрим сумму:

$$S_n=(-1^2+2^2)+(-3^2+4^2)+\cdots +(-n^2+(n+1{)}^2)$$

Каждая пара даёт сумму:

$$-(k^2)+(k+1{)}^2=1+2+3+4+\cdots$$

Сумма всех элементов будет $\frac{n(n-1)}{2}$.

2) Если $n$ — четное, то есть $n=2k$:

Для четного числа $n$, все числа будут чередующимися между положительными и отрицательными квадратами. Таким образом, каждая пара дает положительную разницу, и сумма будет следующей:

$$S_n=(-1^2+2^2)+(-3^2+4^2)+\cdots +(-n^2+(n-1{)}^2)$$

Каждая пара имеет вид:

$$(-k^2+(k+1{)}^2)=(2k+1)$$

Где каждый элемент в итоге будет складываться из чисел от 1 до $n$. Сумма всех таких чисел даёт:

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Ответ:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}k(1-2k),& \text{если }n=2k-1\\ k(2k+1),& \text{если }n=2k\end{array}$$

в) $S_n=0+3+2+5+4+7+6+\cdots +(n+(-1{)}^n)$;

Шаг 1: Понимание структуры последовательности.

Мы видим, что последовательность состоит из чередующихся чисел, причем каждые два соседних числа: одно четное, а другое нечетное. Строка начинается с 0, а дальше числа следуют по схеме $0,3,2,5,4,7,6,\dots$.

Шаг 2: Рассмотрим два случая: $n$ — нечетное или четное.

1) Если $n$ — нечетное, то есть $n=2k-1$:

В этом случае последовательность состоит из четного числа элементов (без последнего). Мы можем рассматривать последовательность как пару чисел с каждым чередующимся по типу. Тогда сумма будет равна:

$$S_n=0+2+3+4+5+\cdots +((n-1)+(-1{)}^{n-1})+(n+(-1{)}^n)$$

Сумма всех чисел от 1 до $n$ будет равна:

$$S_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$

но нужно вычесть 1:

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}-1$$

2) Если $n$ — четное, то есть $n=2k$:

Когда $n$ четное, последовательность завершена, и сумма чисел будет равна:

$$S_n=0+2+3+4+5+6+\cdots +(n+(-1{)}^n)$$

Итак, сумма всех чисел от 1 до $n$ будет:

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$

Ответ:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n(n+1)}{2}-1,& \text{если }n=2k-1\\ \frac{n(n+1)}{2},& \text{если }n=2k\end{array}$$

г) $S_n=2-6+12-20+\cdots +(-1{)}^{n+1}\cdot (n^2+n)$;

Шаг 1: Понимание структуры последовательности.

Последовательность состоит из чередующихся чисел с квадратами $n$, которые следуют по схеме $2,-6,12,-20,\dots$. Каждое $n$-ое число является разностью $(-1{)}^{n+1}\cdot (n^2+n)$.

Шаг 2: Рассмотрим два случая: $n$ — нечетное или четное.

1) Если $n$ — нечетное, то есть $n=2k-1$:

Для нечетного числа $n$, каждый элемент будет чередоваться между положительными и отрицательными значениями. Рассмотрим:

$$S_n=2-6+12-20+\cdots +(-1{)}^{n+1}\cdot (n^2+n)$$

Каждая пара будет представлять собой сумму чисел в виде:

$$(n^2+n)\text{и}-(n-1{)}^2+(n-1)$$

Таким образом, мы получаем:

$$S_n=2k^2$$

2) Если $n$ — четное, то есть $n=2k$:

Для четного числа $n$, элементы также будут чередоваться. Мы можем рассматривать сумму до $n$, включающую последние элементы, определяющие сумму:

$$S_n=-2k(k+1)$$

Ответ:

$$S_n=\{\begin{array}{ll}2k^2,& \text{если }n=2k-1\\ -2k(k+1),& \text{если }n=2k\end{array}$$