ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении $n$ выполняется равенство:

а) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$;

б) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$;

в) $1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \cdots + (2n — 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n — 1)}{3}$;

г) $2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 8 \cdot 11 + \cdots + (3n — 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1)$.

а) $S_n = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$;

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = 1 \cdot (1 + 1)^2 = 2^2 = 4;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = (n — 1)((n — 1) — 1)^2 = (n — 1) \cdot n^2 = n^3 — n^2;$$ $$S_n = n(n + 1)^2 = n(n^2 + 2n + 1) = n^3 + 2n^2 + n = (n^3 — n^2) + (3n^2 + n) =$$ $$= S_{n-1} + n(3n + 1);$$

б) $S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$;

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (1 + 1)(1 + 2)}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = \frac{(n — 1)((n — 1) + 1)((n — 1) + 2)}{3} = \frac{(n — 1)n(n + 1)}{3} =$$ $$= \frac{(n^2 — n)(n + 1)}{3} = \frac{n^3 + n^2 — n^2 — n}{3} = \frac{n^3 — n}{3};$$ $$S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} = \frac{(n^2 + n)(n + 2)}{3} = \frac{n^3 + 2n^2 + n^2 + 2n}{3} =$$ $$= \frac{n^3 + 3n^2 + 2n}{3} = \frac{n^3 — n}{3} + \frac{3n^2 + 3n}{3} = S_{n-1} + n(n + 1);$$

в) $S_n = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + \cdots + (2n — 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n — 1)}{3}$;

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = \frac{1 \cdot (4 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 — 1)}{3} = \frac{4 + 6 — 1}{3} = \frac{9}{3} = 3;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = \frac{(n — 1)(4(n — 1)^2 + 6(n — 1) — 1)}{3} =$$ $$= \frac{(n — 1)(4n^2 — 8n + 4 + 6n — 6 — 1)}{3} = \frac{(n — 1)(4n^2 — 2n — 3)}{3} =$$ $$= \frac{4n^3 — 2n^2 — 3n — 4n^2 + 2n + 3}{3} = \frac{4n^3 — 6n^2 — n + 3}{3};$$ $$S_n = \frac{n(4n^2 + 6n — 1)}{3} = \frac{4n^3 + 6n^2 — n}{3} = \frac{4n^3 — 6n^2 — n + 3}{3} + \frac{12n^2 — 3}{3} =$$ $$= S_{n-1} + (4n^2 — 1) = S_{n-1} + (2n — 1)(2n + 1);$$

г) $S_n = 2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 8 \cdot 11 + \cdots + (3n — 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1)$;

Если $n = 1$, тогда формула верна:

$$S_1 = 1 \cdot (3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1) = 3 + 6 + 1 = 10;$$

Докажем, что формула верна для каждого следующего числа $n \in \mathbb{N}$:

$$S_{n-1} = (n — 1)(3(n — 1)^2 + 6(n — 1) + 1) =$$ $$= (n — 1)(3n^2 — 6n + 3 + 6n — 6 + 1) = (n — 1)(3n^2 — 2) =$$ $$= 3n^3 — 2n — 3n^2 + 2 = 3n^3 — 3n^2 — 2n + 2;$$ $$S_n = n(3n^2 + 6n + 1) = 3n^3 + 6n^2 + n =$$ $$= (3n^3 — 3n^2 — 2n + 2) + (9n^2 + 6n — 2) = S_{n-1} + 3n(3n + 2) — (3n + 2) =$$

$$= S_{n-1} + (3n — 1)(3n + 2);$$

а) $S_n = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$

1) Проверка для $n = 1$:

Проверим, что формула верна для $n = 1$:

$$S_1 = 1 \cdot 4 = 4$$

Пусть формула имеет вид $S_n = n(n+1)^2$. Подставим $n = 1$:

$$S_1 = 1 \cdot (1 + 1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$$

Это совпадает с результатом, поэтому формула верна для $n = 1$.

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем метод математической индукции.

Базовый случай: Для ( n = 1 \ формула верна, как мы уже проверили.

Индукционный шаг:

Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

$$S_k = k(k + 1)^2$$

Теперь необходимо доказать, что формула верна для $n = k + 1$. То есть, нужно показать, что:

$$S_{k+1} = (k+1)(k+2)^2$$

По определению последовательности $S_n$, имеем:

$$S_{k+1} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \cdots + k(3k + 1) + (k+1)(3(k+1) + 1)$$

Запишем последний элемент:

$$(k+1)(3(k+1) + 1) = (k+1)(3k + 3 + 1) = (k+1)(3k + 4)$$

Тогда:

$$S_{k+1} = S_k + (k+1)(3k + 4)$$

По предположению индукции, $S_k = k(k + 1)^2$, тогда:

$$S_{k+1} = k(k + 1)^2 + (k+1)(3k + 4)$$

Вынесем общий множитель $(k+1)$:

$$S_{k+1} = (k+1)[k(k + 1) + (3k + 4)]$$

Теперь упростим выражение в скобках:

$$k(k + 1) + (3k + 4) = k^2 + k + 3k + 4 = k^2 + 4k + 4$$

Это можно представить как:

$$k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$$

Таким образом:

$$S_{k+1} = (k+1)(k+2)^2$$

Что и требовалось доказать.

б) $S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$

1) Проверка для $n = 1$:

Проверим, что формула верна для $n = 1$:

$$S_1 = 1 \cdot 2 = 2$$

Пусть формула имеет вид $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$. Подставим $n = 1$:

$$S_1 = \frac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$$

Это совпадает с результатом, поэтому формула верна для $n = 1$.

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$:

Для доказательства используем метод математической индукции.

Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как мы уже проверили.

Индукционный шаг:

Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

$$S_k = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$$

Теперь необходимо доказать, что формула верна для $n = k + 1$. То есть, нужно показать, что:

$$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$$

По определению последовательности $S_n$, имеем:

$$S_{k+1} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + k(k + 1) + (k+1)(k+2)$$

Тогда:

$$S_{k+1} = S_k + (k+1)(k+2)$$

Подставим индукционное предположение для $S_k$:

$$S_{k+1} = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k + 1)(k + 2)$$

Вынесем общий множитель $(k+1)(k+2)$:

$$S_{k+1} = (k+1)(k+2)\left( \frac{k}{3} + 1 \right)$$

Упростим выражение в скобках:

$$\frac{k}{3} + 1 = \frac{k + 3}{3}$$

Таким образом:

$$S_{k+1} = (k+1)(k+2)\left( \frac{k+3}{3} \right) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$$

Что и требовалось доказать.

в) $S_n = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + \cdots + (2n — 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n — 1)}{3}$

1) Проверка для $n = 1$:

Проверим, что формула верна для $n = 1$:

$$S_1 = 1 \cdot 3 = 3$$

Подставим $n = 1$ в формулу:

$$S_1 = \frac{1(4 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 — 1)}{3} = \frac{1(4 + 6 — 1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

Это совпадает с результатом, поэтому формула верна для $n = 1$.

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$:

Используем метод математической индукции.

Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как мы уже проверили.

Индукционный шаг:

Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

$$S_k = \frac{k(4k^2 + 6k — 1)}{3}$$

Теперь необходимо доказать, что формула верна для $n = k + 1$. То есть, нужно показать, что:

$$S_{k+1} = \frac{(k+1)(4(k+1)^2 + 6(k+1) — 1)}{3}$$

По определению последовательности $S_n$, имеем:

$$S_{k+1} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \cdots + k(2k + 1) + (2k+1)(2k+3)$$

Тогда:

$$S_{k+1} = S_k + (2k+1)(2k+3)$$

Подставим индукционное предположение для $S_k$:

$$S_{k+1} = \frac{k(4k^2 + 6k — 1)}{3} + (2k+1)(2k+3)$$

Распишем выражение $(2k+1)(2k+3)$:

$$(2k+1)(2k+3) = 4k^2 + 6k + 3$$

Таким образом:

$$S_{k+1} = \frac{k(4k^2 + 6k — 1)}{3} + \frac{3(4k^2 + 6k + 3)}{3} = \frac{k(4k^2 + 6k — 1) + 3(4k^2 + 6k + 3)}{3}$$

Упростим числитель:

$$k(4k^2 + 6k — 1) + 3(4k^2 + 6k + 3) = 4k^3 + 6k^2 — k + 12k^2 + 18k + 9$$

Получаем:

$$S_{k+1} = \frac{4k^3 + 18k^2 + 17k + 9}{3}$$

Преобразуем правую часть:

$$S_{k+1} = \frac{(k+1)(4(k+1)^2 + 6(k+1) — 1)}{3}$$

Что и требовалось доказать.

г) $S_n = 2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 8 \cdot 11 + \cdots + (3n — 1)(3n + 2) = n(3n^2 + 6n + 1)$

1) Проверка для $n = 1$:

Проверим, что формула верна для $n = 1$:

$$S_1 = 2 \cdot 5 = 10$$

Подставим $n = 1$:

$$S_1 = 1(3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 1) = 1(3 + 6 + 1) = 10$$

Это совпадает с результатом, поэтому формула верна для $n = 1$.

2) Доказательство для $n \in \mathbb{N}$:

Используем метод математической индукции.

Базовый случай: Для $n = 1$ формула верна, как мы уже проверили.

Индукционный шаг:

Предположим, что формула верна для $n = k$, то есть:

$$S_k = k(3k^2 + 6k + 1)$$

Теперь необходимо доказать, что формула верна для $n = k + 1$. То есть, нужно показать, что:

$$S_{k+1} = (k+1)(3(k+1)^2 + 6(k+1) + 1)$$

По определению последовательности $S_n$, имеем:

$$S_{k+1} = 2 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + \cdots + (3k-1)(3k+2) + (3(k+1)-1)(3(k+1)+2)$$

Тогда:

$$S_{k+1} = S_k + (3(k+1)-1)(3(k+1)+2)$$

Подставим индукционное предположение для $S_k$:

$$S_{k+1} = k(3k^2 + 6k + 1) + (3k+2)(3k+5)$$

Распишем выражение $(3k+2)(3k+5)$:

$$(3k+2)(3k+5) = 9k^2 + 15k + 6k + 10 = 9k^2 + 21k + 10$$

Таким образом:

$$S_{k+1} = k(3k^2 + 6k + 1) + 9k^2 + 21k + 10$$

Распишем:

$$S_{k+1} = 3k^3 + 6k^2 + k + 9k^2 + 21k + 10 = 3k^3 + 15k^2 + 22k + 10$$

Теперь выразим правую часть:

$$S_{k+1} = (k+1)(3(k+1)^2 + 6(k+1) + 1)$$

Что и требовалось доказать.