ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 6 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) 23^6 + 23^7 кратно 24;

б) 10^5 + 5^7 делится на 19;

в) 37^8 — 37^7 кратно 18;

г) 72^2 + 6^5 делится на 30.

а) Доказать, что число $23^6 + 23^7$ кратно 24:

$$\frac{23^6 + 23^7}{24} = \frac{23^6 + 23^6 \cdot 23}{24} = \frac{23^6 \cdot (1 + 23)}{24} = \frac{23^6 \cdot 24}{24} = 23^6 \in \mathbb{Z};$$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что число $10^5 + 5^7$ кратно 19:

$$\frac{10^5 + 5^7}{19} = \frac{2^5 \cdot 5^5 + 5^2 \cdot 5^5}{19} = \frac{32 \cdot 5^5 + 25 \cdot 5^5}{19} = \frac{(32 + 25) \cdot 5^5}{19} =$$ $$= \frac{57 \cdot 5^5}{19} = \frac{19 \cdot 3 \cdot 5^5}{19} = 3 \cdot 5^5 \in \mathbb{Z};$$

Что и требовалось доказать.

в) Доказать, что число $37^8 — 37^7$ кратно 18:

$$\frac{37^8 — 37^7}{18} = \frac{37^7 \cdot 37 — 37^7}{18} = \frac{37^7 \cdot (37 — 1)}{18} = \frac{37^7 \cdot 36}{18} = 37^7 \cdot 2 \in \mathbb{Z};$$

Что и требовалось доказать.

г) Доказать, что число $72^2 + 6^5$ кратно 30:

$$\frac{72^2 + 6^5}{30} = \frac{6^2 \cdot 6^2 \cdot 2^2 + 6^3 \cdot 6^2}{30} = \frac{6^3 \cdot 24 + 6^3 \cdot 36}{30} = \frac{6^3 \cdot (24 + 36)}{30} =$$ $$= \frac{6^3 \cdot 60}{30} = \frac{6^3 \cdot 2 \cdot 30}{30} = 6^3 \cdot 2 \in \mathbb{Z};$$

Что и требовалось доказать.

а) Доказать, что число $23^6 + 23^7$ кратно 24.

Шаг 1: Выражение задачи

Нам нужно доказать, что $23^6 + 23^7$ делится на 24.

Чтобы сделать это, выразим $23^6 + 23^7$ через общий множитель:

$$23^6 + 23^7 = 23^6 (1 + 23) = 23^6 \cdot 24$$

Шаг 2: Применение делимости

Заметив, что $23^6 \cdot 24$ — это произведение числа 24 и целого числа $23^6$, мы можем сказать, что выражение $23^6 + 23^7$ делится на 24.

Таким образом, мы получили, что $23^6 + 23^7$ делится на 24.

Ответ:
Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что число $10^5 + 5^7$ кратно 19.

Шаг 1: Выражение задачи

Нам нужно доказать, что $10^5 + 5^7$ делится на 19. Разложим это выражение:

$$10^5 + 5^7 = 2^5 \cdot 5^5 + 5^2 \cdot 5^5$$

Теперь упрощаем:

$$10^5 + 5^7 = 5^5 \cdot (2^5 + 5^2) = 5^5 \cdot (32 + 25) = 5^5 \cdot 57$$

Шаг 2: Применение делимости

Теперь проверим, делится ли $57$ на 19:

$$57 \div 19 = 3$$

Это деление дает целое число. Таким образом, $57$ делится на 19, и следовательно:

$$5^5 \cdot 57 \div 19 = 3 \cdot 5^5$$

Шаг 3: Заключение

Поскольку выражение $3 \cdot 5^5$ является целым числом, то $10^5 + 5^7$ делится на 19.

Ответ:
Что и требовалось доказать.

в) Доказать, что число $37^8 — 37^7$ кратно 18.

Шаг 1: Выражение задачи

Нам нужно доказать, что $37^8 — 37^7$ делится на 18. Начнем с того, что вынесем общий множитель $37^7$:

$$37^8 — 37^7 = 37^7(37 — 1) = 37^7 \cdot 36$$

Шаг 2: Применение делимости

Теперь заметим, что $36$ делится на 18:

$$36 \div 18 = 2$$

Следовательно, $37^7 \cdot 36$ делится на 18, так как произведение целого числа на 18 также делится на 18.

Шаг 3: Заключение

Поскольку $37^7 \cdot 36$ делится на 18, то $37^8 — 37^7$ делится на 18.

Ответ:
Что и требовалось доказать.

г) Доказать, что число $72^2 + 6^5$ кратно 30.

Шаг 1: Выражение задачи

Нам нужно доказать, что $72^2 + 6^5$ делится на 30. Начнем с разложения каждого из слагаемых:

$$72^2 = 6^2 \cdot 6^2 \cdot 2^2, \quad 6^5 = 6^3 \cdot 6^2$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$72^2 + 6^5 = 6^3 \cdot 24 + 6^3 \cdot 36 = 6^3 \cdot (24 + 36) = 6^3 \cdot 60$$

Шаг 2: Применение делимости

Заметим, что $60$ делится на 30:

$$60 \div 30 = 2$$

Таким образом, $6^3 \cdot 60$ делится на 30, так как произведение целого числа на 30 также делится на 30.

Шаг 3: Заключение

Поскольку $6^3 \cdot 60$ делится на 30, то $72^2 + 6^5$ делится на 30.

Ответ:
Что и требовалось доказать.

Итоговые ответы:

1. $23^6 + 23^7$ кратно 24.
2. $10^5 + 5^7$ кратно 19.
3. $37^8 — 37^7$ кратно 18.
4. $72^2 + 6^5$ кратно 30.