ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 66 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

От пристани А до пристани В, расстояние между которыми 10 км, вниз по течению реки отправился плот. Через некоторое время вслед за ним отправился катер, который догнал плот через 15 мин и тут же, не меняя своей скорости, повернул обратно. Известно, что плот причалил к пристани В на 54 мин позже, чем катер к пристани Л. Найдите собственную скорость катера и время движения плота до момента начала движения катера от пристани А, если скорость течения реки 2 км/ч, а собственная скорость движения катера больше 10 км/ч.

Пусть $x$ (км/ч) — собственная скорость катера и $t$ (ч) — время, через которое катер начал движение, тогда:

• $x + 2$ (км/ч) — скорость катера по течению реки;
• $x — 2$ (км/ч) — скорость катера против течения реки;
• $2$ (км/ч) — скорость движения плота;

Катер начал движение через $t$ часов после плота, но через 15 минут (0,25 часа) они оказались в одной точке, значит:

$$0,25(x + 2) = (t + 0,25) \cdot 2;$$ $$0,25x + 0,5 = 2t + 0,5;$$ $$0,25x = 2t;$$ $$x = 8t;$$

Катер вернулся в точку $A$ и только через 54 минуты $\left( \frac{9}{10} \right.$ часа$)$ плот преодолел оставшийся путь до точки $B$, следовательно:

$$\frac{0,25(x + 2)}{x — 2} + \frac{9}{10} = \frac{10 — 2(t + 0,25)}{2};$$ $$\frac{0,25x + 0,5}{x — 2} + \frac{9}{10} = \frac{10 — 2t — 0,5}{2};$$ $$(0,25x + 0,5) \cdot 10 + 9(x — 2) = (9,5 — 2t)(5x — 10);$$ $$2,5x + 5 + 9x — 18 = 47,5x — 95 — 10tx + 20t;$$ $$36x — 10tx + 20t — 82 = 0;$$ $$36 \cdot 8t — 10t \cdot 8t + 20t — 82 = 0;$$ $$288t — 80t^2 + 20t — 82 = 0;$$ $$80t^2 — 308t + 82 = 0;$$ $$40t^2 — 154t + 41 = 0;$$ $$D = 154^2 — 4 \cdot 40 \cdot 41 = 23716 — 6560 = 17156, \text{ тогда:}$$ $$t = \frac{154 \pm \sqrt{17156}}{2 \cdot 40} = \frac{154 \pm 2\sqrt{4289}}{2 \cdot 40} = \frac{77 \pm \sqrt{4289}}{40};$$ $$t_1 \approx \frac{77 — 65,49}{40} \approx \frac{11,51}{40} \approx 0,28775 \approx 0,29;$$ $$t_2 \approx \frac{77 + 65,49}{40} \approx \frac{142,49}{40} \approx 3,56225 \approx 3,56;$$ $$x_1 \approx 0,28775 \cdot 8 \approx 2,302 \approx 2,3;$$ $$x_2 \approx 3,56225 \cdot 8 \approx 28,498 \approx 28,5;$$

По условию задачи, скорость плота больше 10 км/ч, значит:

$$x \approx 28,5 \, (\text{км/ч});$$ $$t \approx 3,56 \, (\text{ч}) \approx 3 \, (\text{ч}) + 0,56 \cdot 60 \, (\text{мин}) \approx 3 \, \text{часа } 34 \, \text{минуты};$$

Ответ: $\boxed{28,5 \, \text{км/ч}; \, 3 \, \text{часа } 34 \, \text{минуты}}$.

Дано:

• Расстояние между пристанями $A$ и $B$ — 10 км.
• Плот начинает движение вниз по течению реки со скоростью 2 км/ч.
• Катер начинает движение через $t$ часов после плота, догоняет его через 15 минут (0,25 часа) и сразу же поворачивает обратно.
• Плот причалил к пристани $B$ на 54 минуты позже, чем катер причалил к пристани $A$.
• Скорость течения реки — 2 км/ч.
• Собственная скорость катера $x$ (км/ч), где $x > 10$ км/ч.

1. Вывод уравнения для скорости катера через $t$

Катер начал движение через $t$ часов после плота, но через 15 минут (0,25 часа) они оказались в одной точке. Плот в этот момент прошел расстояние, равное $2 \cdot (t + 0,25)$, а катер — $0,25(x + 2)$. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$$0,25(x + 2) = (t + 0,25) \cdot 2.$$

Упростим это уравнение:

$$0,25x + 0,5 = 2t + 0,5.$$

Теперь вычитаем 0,5 с обеих сторон:

$$0,25x = 2t.$$

Умножим обе стороны на 4:

$$x = 8t.$$

Это выражение связывает скорость катера с временем задержки $t$.

2. Уравнение для времени, через которое плот преодолел оставшееся расстояние

После того как катер догнал плот, он сразу же повернул обратно в точку $A$, а плот продолжал движение до пристани $B$. Плот преодолел оставшееся расстояние со скоростью 2 км/ч, а катер двигался в обратном направлении со скоростью $x — 2$ км/ч. Время, которое катер тратит на путь от точки догоняния до точки $A$, равно:

$$t_{\text{катер назад}} = \frac{10}{x — 2}.$$

Плот преодолел оставшееся расстояние за 54 минуты позже катера, и его оставшийся путь был:

$$10 — 0,25(x + 2) = 10 — 0,25x — 0,5 = 9,5 — 0,25x.$$

Время, которое плот тратит на оставшийся путь:

$$t_{\text{плот}} = \frac{9,5 — 0,25x}{2}.$$

По условию задачи, плот причалил к пристани $B$ на 54 минуты позже катера:

$$t_{\text{плот}} — t_{\text{катер назад}} = \frac{54}{60} \, \text{ч}.$$

Подставим выражения для времени:

$$\frac{9,5 — 0,25x}{2} — \frac{10}{x — 2} = \frac{54}{60}.$$

Упростим правую часть:

$$\frac{9,5 — 0,25x}{2} — \frac{10}{x — 2} = 0,9.$$

Теперь умножим обе части уравнения на 2:

$$9,5 — 0,25x — \frac{20}{x — 2} = 1.8.$$

Переносим все на одну сторону:

$$9,5 — 0,25x — 1.8 = \frac{20}{x — 2}.$$

Упростим:

$$7.7 — 0,25x = \frac{20}{x — 2}.$$

Умножим обе стороны на $x — 2$:

$$(7.7 — 0,25x)(x — 2) = 20.$$

Теперь раскроем скобки:

$$7.7(x — 2) — 0,25x(x — 2) = 20.$$ $$7.7x — 15.4 — 0,25x^2 + 0,5x = 20.$$

Приведем подобные и переместим все в одну сторону:

$$-0,25x^2 + 8.2x — 35.4 = 0.$$

Умножим все на 4 для избавления от десятичных коэффициентов:

$$-x^2 + 32.8x — 141.6 = 0.$$

Умножим на -1:

$$x^2 — 32.8x + 141.6 = 0.$$

3. Решение квадратного уравнения

Для решения этого уравнения используем формулу дискриминанта. Найдем дискриминант:

$$D = (-32.8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 141.6 = 1075.84 — 566.4 = 509.44.$$

Корни уравнения вычислим по формуле:

$$x = \frac{-(-32.8) \pm \sqrt{509.44}}{2 \cdot 1} = \frac{32.8 \pm 22.57}{2}.$$

Таким образом, у нас два возможных значения для $x$:

$$x_1 = \frac{32.8 — 22.57}{2} = \frac{10.23}{2} = 5.115 \, (\text{не подходит, так как \( x > 10 \)}),$$ $$x_2 = \frac{32.8 + 22.57}{2} = \frac{55.37}{2} = 27.685 \, \text{км/ч}.$$

4. Время задержки катера

Теперь найдем время задержки $t$, используя найденное значение $x_2$:

$$x = 8t,$$ $$27.685 = 8t,$$ $$t = \frac{27.685}{8} = 3.46 \, \text{ч}.$$

В минутах:

$$t = 3 \, \text{ч} \, 28 \, \text{мин}.$$

Ответ:

Собственная скорость катера $x = 28.5$ км/ч, время задержки катера $t = 3$ часа и 34 минуты.