ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 67 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Колонне автомашин было дано задание перевезти со склада в речной порт 60 т груза. В связи с неблагоприятной погодой на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, и поэтому колонну дополнили ещё четырьмя машинами. Сколько машин было в колонне первоначально?

Пусть в $x$ машин планировалось загрузить по $y$ тонн груза, тогда:

• $x + 4$ (шт.) — машин использовали;
• $y — 0,5$ (т.) — товара загрузили в каждую машину:

Всего нужно перевести 60 тонн груза, значит:

$$\begin{cases} xy = 60 \\ (x + 4)(y — 0,5) = 60 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \frac{60}{x} \\ xy — 0,5x + 4y — 2 — 60 = 0 \end{cases};$$ $$x \cdot \frac{60}{x} — 0,5x + 4 \cdot \frac{60}{x} — 62 = 0;$$ $$60 — 0,5x + \frac{240}{x} — 62 = 0;$$ $$0,5x + 2 — \frac{240}{x} = 0 \quad | \cdot 2x;$$ $$x^2 + 4x — 480 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 480 = 16 + 1920 = 1936, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-4 — 44}{2} = -24 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 44}{2} = 20;$$

Количество машин не может быть отрицательным, значит:

$$x = 20 \, (\text{шт.});$$

Ответ: 20 машин.

Дано:

• Всего нужно перевезти 60 тонн груза.
• Планировалось, что каждая машина перевезет $y$ тонн груза.
• В связи с неблагоприятной погодой на каждую машину загрузили на $0,5$ тонны меньше, то есть $y — 0,5$ тонн.
• В колонне оказалось на 4 машины больше, чем планировалось, то есть было $x + 4$ машин.

Нужно найти количество машин, которое было в колонне первоначально (до изменения).

Решение:

Пусть $x$ — количество машин, которое планировалось использовать для перевозки груза, и $y$ — количество тонн груза, которое должно было быть загружено в каждую машину.

1. Составим систему уравнений для исходных условий:

• По условию задачи известно, что общий груз в 60 тонн должен быть перевезен. Если каждая машина должна была перевезти по $y$ тонн, то при $x$ машинах общий груз составит:

  $$xy = 60$$

• В результате изменения на каждую машину загрузили на $0,5$ тонны меньше, и колонна была дополнена четырьмя машинами. Таким образом, при $x + 4$ машинах груз был распределен по $y — 0,5$ тонн на машину. Тогда, по аналогии с первым уравнением:

  $$(x + 4)(y — 0,5) = 60$$

2. Решим систему уравнений:

• Из первого уравнения $xy = 60$ выразим $y$ через $x$:

  $$y = \frac{60}{x}$$

• Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

  $$(x + 4)\left( \frac{60}{x} — 0,5 \right) = 60$$

3. Раскроем скобки:

• Умножим $(x + 4)$ на $\frac{60}{x} — 0,5$:

  $$(x + 4)\left( \frac{60}{x} — 0,5 \right) = (x + 4) \cdot \frac{60}{x} — (x + 4) \cdot 0,5$$

• Раскроем каждое из выражений:

  $$= \frac{60(x + 4)}{x} — 0,5(x + 4)$$ $$= \frac{60x + 240}{x} — 0,5x — 2$$

4. Упростим уравнение:

Подставим это в исходное уравнение:

$$\frac{60x + 240}{x} — 0,5x — 2 = 60$$

• Переносим все в одну сторону:

$$\frac{60x + 240}{x} — 0,5x — 2 — 60 = 0$$ $$\frac{60x + 240}{x} — 0,5x — 62 = 0$$

5. Умножим все на $x$ для избавления от дроби:

Умножим обе части уравнения на $x$:

$$60x + 240 — 0,5x^2 — 62x = 0$$

6. Приведем подобные и получим квадратное уравнение:

$$-0,5x^2 + (60x — 62x) + 240 = 0$$ $$-0,5x^2 — 2x + 240 = 0$$

Умножим на -2, чтобы избавиться от дроби:

$$x^2 + 4x — 480 = 0$$

7. Найдем дискриминант квадратного уравнения:

Для уравнения $x^2 + 4x — 480 = 0$ находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-480)$$ $$D = 16 + 1920 = 1936$$

8. Найдем корни уравнения:

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $a = 1$, $b = 4$, $D = 1936$:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{1936}}{2}$$ $$x = \frac{-4 \pm 44}{2}$$

Это дает два корня:

$$x_1 = \frac{-4 — 44}{2} = \frac{-48}{2} = -24$$ $$x_2 = \frac{-4 + 44}{2} = \frac{40}{2} = 20$$

9. Выбираем корректное значение:

Так как количество машин не может быть отрицательным, $x = -24$ отвергаем. Оставляем:

$$x = 20$$

Ответ:

Количество машин, которое было в колонне первоначально, равно $\boxed{20}$.