ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 69 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Бригада должна была изготовить 120 изделий к определённому сроку. Однако она изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на 3 дня раньше срока. Сколько изделий в день должна была изготовлять бригада по плану?

Пусть $x$ дней планировалось изготавливать по $y$ изделий, тогда:

$x-3$ (сут) — продлилась работа;

$y+2$ (шт) — изготавливали изделий ежедневно;

Всего требуется изготовить 120 изделий, значит:

$$\{\begin{array}{l}xy=120\\ (x-3)(y+2)=120\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{120}{y}\\ xy+2x-3y-6-120=0\end{array}$$$$\frac{120}{y}\cdot y+2\cdot \frac{120}{y}-3y-126=0;$$$$120+\frac{240}{y}-3y-126=0;$$$$3y+6-\frac{240}{y}=0\mathrm{\mid }\cdot y;$$$$y^2+2y-80=0;$$$$D=2^2+4\cdot 80=4+320=324,\text{тогда:}$$$$y_1=\frac{-2-18}{2}=-10\text{и}{y}_2=\frac{-2+18}{2}=8;$$

Количество деталей не может быть отрицательным, значит:

$$y=8(\text{шт});$$

Ответ: 8 изделий в день.

Бригада должна была изготовить 120 изделий к определённому сроку. Однако она изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на 3 дня раньше срока. Сколько изделий в день должна была изготовлять бригада по плану?

Решение:

1. Обозначения:

• Пусть $x$ — количество дней, которые по плану должны были потратить на изготовление изделий.
• Пусть $y$ — количество изделий, которые по плану должны были изготавливать в день.

2. По плану:

По плану бригада должна была изготовить 120 изделий за $x$ дней, поэтому выполняется равенство:

$$x\cdot y=120\text{(1)}$$

Это означает, что за $x$ дней бригада должна была изготавливать по $y$ изделий в день.

3. Реальные условия:

В реальности бригада изготовляла на 2 изделия больше в день, то есть, в день она изготавливала $y+2$ изделий, и завершила работу на 3 дня раньше. Это значит, что бригада потратила $x-3$ дней на выполнение задачи.

За эти $x-3$ дней было изготовлено 120 изделий, поэтому выполняется второе равенство:

$$(x-3)\cdot (y+2)=120\text{(2)}$$

4. Составляем систему уравнений:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\{\begin{array}{l}x\cdot y=120\\ (x-3)\cdot (y+2)=120\end{array}$$

5. Решаем систему уравнений:

Из уравнения (1) выразим $x$:

$$x=\frac{120}{y}\text{(3)}$$

Подставим это значение $x$ в уравнение (2):

$$(\frac{120}{y}-3)\cdot (y+2)=120$$

Теперь упростим это уравнение:

$$(\frac{120}{y}-3)\cdot (y+2)=120$$

Раскроем скобки:

$$\left(\frac{120}{y}\right)\cdot (y+2)-3\cdot (y+2)=120$$$$\frac{120(y+2)}{y}-3(y+2)=120$$

Упростим каждую часть:

$$\frac{120y+240}{y}-3y-6=120$$

Умножим все на $y$, чтобы избавиться от дробей:

$$120y+240-3y^2-6y=120y$$

Переносим все термины в одну сторону:

$$240-3y^2-6y=0$$

Упрощаем:

$$3y^2+6y-240=0$$

Разделим обе стороны на 3:

$$y^2+2y-80=0$$

6. Решаем квадратное уравнение:

Теперь решим квадратное уравнение $y^2+2y-80=0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

где $a=1$, $b=2$, и $c=-80$:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-80)=4+320=324$$

Корни уравнения $y$ находятся по формуле:

$$y=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y=\frac{-2\pm \sqrt{324}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm 18}{2}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1=\frac{-2+18}{2}=\frac{16}{2}=8$$$$y_2=\frac{-2-18}{2}=\frac{-20}{2}=-10$$

Так как количество изделий не может быть отрицательным, выбираем $y=8$

7. Ответ:

Таким образом, бригада должна была изготавливать по 8 изделий в день по плану.

Проверка:

1. По плану: $x\cdot y=120$, то есть $x\cdot 8=120$, отсюда $x=\frac{120}{8}=15$
2. В реальности: $(x-3)\cdot (y+2)=120$, то есть $(15-3)\cdot (8+2)=12\cdot 10=120$

Ответ верен.