ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите данное уравнение относительно $y$ и относительно $x$. Исходя из полученных решений и допустимых значений переменных, выясните, можно ли говорить, что данное уравнение задает функцию вида $y = f(x)$ или/и вида $x = \varphi(y)$:

а) $2x + 3y = 24$;

б) $\frac{x — y}{x + 2y} = 2$;

в) $7x — 5y = 35$;

г) $\frac{2x + y}{x — 4y} = -2$.

Уравнение задает функцию вида $t = f(k)$ в том, и только в том случае, если в данной функции каждому значению аргумента $k$ соответствует единственное значение $t$ функции;

а) $2x + 3y = 24$;

Относительно $x$:

$$2x = 24 — 3y;$$ $$x = \frac{24 — 3y}{2} = 12 — \frac{3}{2}y;$$

Относительно $y$:

$$3y = 24 — 2x;$$ $$y = \frac{24 — 2x}{3} = 8 — \frac{2}{3}x;$$

Уравнение задает функцию вида:

$$y = f(x), \quad x = \varphi(y);$$

Ответ: $x = 12 — \frac{3}{2}y; \quad y = 8 — \frac{2}{3}x$.

б) $\frac{x — y}{x + 2y} = 2$;

Относительно $x$:

$$x — y = 2(x + 2y);$$ $$x — y = 2x + 4y;$$ $$-x = 5y;$$ $$x = -5y;$$

Относительно $y$:

$$y = -\frac{x}{5};$$

Уравнение задает функцию вида:

$$y = f(x), \quad x = \varphi(y);$$

Ответ: $x = -5y; \quad y = -\frac{x}{5}$.

в) $7x — 5y = 35$;

Относительно $x$:

$$7x = 35 + 5y;$$ $$x = \frac{35 + 5y}{7} = 5 + \frac{5}{7}y;$$

Относительно $y$:

$$5y = 7x — 35;$$ $$y = \frac{7x — 35}{5} = \frac{7}{5}x — 7;$$

Уравнение задает функцию вида:

$$y = f(x), \quad x = \varphi(y);$$

Ответ: $x = 5 + \frac{5}{7}y; \quad y = \frac{7}{5}x — 7$.

г) $\frac{2x + y}{x — 4y} = -2$;

Относительно $x$:

$$2x + y = -2(x — 4y);$$ $$2x + y = -2x + 8y;$$ $$4x = 7y;$$ $$x = \frac{7}{4}y;$$

Относительно $y$:

$$y = \frac{4}{7}x;$$

Уравнение задает функцию вида:

$$y = f(x), \quad x = \varphi(y);$$

Ответ: $x = \frac{7}{4}y; \quad y = \frac{4}{7}x$.

а) $2x + 3y = 24$

1) Решение относительно $x$:

Нам нужно выразить $x$ через $y$. Для этого из исходного уравнения:

$$2x + 3y = 24$$

• Переносим $3y$ на правую сторону:

$$2x = 24 — 3y$$

• Разделим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{24 — 3y}{2}$$

• Упростим выражение:

$$x = 12 — \frac{3}{2}y$$

Это решение относительно $x$.

2) Решение относительно $y$:

Теперь выразим $y$ через $x$:

$$2x + 3y = 24$$

• Переносим $2x$ на правую сторону:

$$3y = 24 — 2x$$

• Разделим обе части на 3:

$$y = \frac{24 — 2x}{3}$$

• Упростим выражение:

$$y = 8 — \frac{2}{3}x$$

Это решение относительно $y$.

3) Уравнение задает функцию вида $y = f(x)$ и $x = \varphi(y)$:

• Из полученных решений видно, что для каждого значения $x$ существует только одно значение $y$, и для каждого значения $y$ существует только одно значение $x$.
• Таким образом, уравнение задает функцию как по $x$, так и по $y$.

Ответ: $x = 12 — \frac{3}{2}y; \quad y = 8 — \frac{2}{3}x$.

б) $\frac{x — y}{x + 2y} = 2$

1) Решение относительно $x$:

Нам нужно выразить $x$ через $y$. Начнем с уравнения:

$$\frac{x — y}{x + 2y} = 2$$

• Умножим обе части на $x + 2y$ (предполагая, что $x + 2y \neq 0$):

$$x — y = 2(x + 2y)$$

• Раскроем скобки:

$$x — y = 2x + 4y$$

• Переносим все члены, содержащие $x$ и $y$, на одну сторону:

$$x — 2x = 4y + y$$

• Упростим:

$$-x = 5y$$

• Умножим обе части на -1:

$$x = -5y$$

Это решение относительно $x$.

2) Решение относительно $y$:

Теперь выразим $y$ через $x$:

$$\frac{x — y}{x + 2y} = 2$$

• Умножим обе части на $x + 2y$:

$$x — y = 2(x + 2y)$$

• Раскроем скобки и упростим, как это было выше:

$$-x = 5y$$

• Разделим обе части на 5:

$$y = -\frac{x}{5}$$

Это решение относительно $y$.

3) Уравнение задает функцию вида $y = f(x)$ и $x = \varphi(y)$:

• Для каждого значения $x$ существует единственное значение $y$, и для каждого значения $y$ существует единственное значение $x$.
• Таким образом, уравнение задает функцию как по $x$, так и по $y$.

Ответ: $x = -5y; \quad y = -\frac{x}{5}$.

в) $7x — 5y = 35$

1) Решение относительно $x$:

Начнем с уравнения:

$$7x — 5y = 35$$

• Переносим $-5y$ на правую сторону:

$$7x = 35 + 5y$$

• Разделим обе части на 7:

$$x = \frac{35 + 5y}{7}$$

• Упростим выражение:

$$x = 5 + \frac{5}{7}y$$

Это решение относительно $x$.

2) Решение относительно $y$:

Теперь выразим $y$ через $x$:

$$7x — 5y = 35$$

• Переносим $7x$ на правую сторону:

$$-5y = 35 — 7x$$

• Разделим обе части на -5:

$$y = \frac{7x — 35}{5}$$

• Упростим выражение:

$$y = \frac{7}{5}x — 7$$

Это решение относительно $y$.

3) Уравнение задает функцию вида $y = f(x)$ и $x = \varphi(y)$:

• Для каждого значения $x$ существует единственное значение $y$, и для каждого значения $y$ существует единственное значение $x$.
• Таким образом, уравнение задает функцию как по $x$, так и по $y$.

Ответ: $x = 5 + \frac{5}{7}y; \quad y = \frac{7}{5}x — 7$.

г) $\frac{2x + y}{x — 4y} = -2$

1) Решение относительно $x$:

Начнем с уравнения:

$$\frac{2x + y}{x — 4y} = -2$$

• Умножим обе части на $x — 4y$ (предполагая, что $x — 4y \neq 0$):

$$2x + y = -2(x — 4y)$$

• Раскроем скобки:

$$2x + y = -2x + 8y$$

• Переносим все члены, содержащие $x$ и $y$, на одну сторону:

$$2x + 2x = 8y — y$$

• Упростим:

$$4x = 7y$$

• Разделим обе части на 4:

$$x = \frac{7}{4}y$$

Это решение относительно $x$.

2) Решение относительно $y$:

Теперь выразим $y$ через $x$:

$$\frac{2x + y}{x — 4y} = -2$$

• Умножим обе части на $x — 4y$:

$$2x + y = -2(x — 4y)$$

• Раскроем скобки и упростим, как это было выше:

$$4x = 7y$$

• Разделим обе части на 7:

$$y = \frac{4}{7}x$$

Это решение относительно $y$.

3) Уравнение задает функцию вида $y = f(x)$ и $x = \varphi(y)$:

• Для каждого значения $x$ существует единственное значение $y$, и для каждого значения $y$ существует единственное значение $x$.
• Таким образом, уравнение задает функцию как по $x$, так и по $y$.

Ответ: $x = \frac{7}{4}y; \quad y = \frac{4}{7}x$.