ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $2x — 3y^2 = -12$;

б) $\frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+4} = \frac{y}{y-3} \cdot \frac{y+1}{y+4}$

Уравнение задает функцию вида $t = f(k)$ в том, и только в том случае, если в данной функции каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции;

а) $2x — 3y^2 = -12$;

Относительно $x$:

$$2x = 3y^2 — 12;$$ $$x = \frac{3y^2 — 12}{2} = \frac{3}{2}y^2 — 6;$$

Относительно $y$:

$$3y^2 = 2x + 12;$$ $$y^2 = \frac{2x + 12}{3} = \frac{2}{3}x + 4;$$ $$y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}x + 4};$$

Уравнение задает функцию вида:

$$x = \varphi(y);$$

Ответ: $x = \frac{3}{2}y^2 — 6$; $y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}x + 4}$.

б) $\frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+4} = \frac{y}{y-3} \cdot \frac{y+1}{y+4}$;

Первое решение:

$$\frac{x}{x-3} = \frac{y}{y-3};$$ $$x(y-3) = y(x-3);$$ $$xy — 3x = xy — 3y;$$ $$-3x = -3y;$$ $$x = y;$$

Второе решение:

$$\frac{x}{x-3} = \frac{y+1}{y+4};$$ $$x(y+4) = (y+1)(x-3);$$ $$xy + 4x = xy — 3y + x — 3;$$ $$3y = -3 — 3x;$$ $$y = -1 — x;$$ $$x = -1 — y;$$

Относительно $x$:

$$x = y;$$ $$x = -1 — y;$$

Относительно $y$:

$$y = x;$$ $$y = -1 — x;$$

Уравнение задает функцию вида:

$$y = f(x), \quad x = \varphi(y);$$

Ответ: $x = y$, $x = -1 — y$, при $y \neq 3, -4$;

$$y = x, \quad y = -1 — x, \text{ при } x \neq 3, -4.$$

а) $2x — 3y^2 = -12$

1) Решение относительно $x$:

Мы начинаем с уравнения:

$$2x — 3y^2 = -12$$

• Переносим $-3y^2$ на правую сторону:

$$2x = 3y^2 — 12$$

• Далее делим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{3y^2 — 12}{2}$$

• Разделим числитель на 2:

$$x = \frac{3}{2}y^2 — 6$$

Это решение относительно $x$. Мы выражаем $x$ как функцию от $y$, то есть для каждого значения $y$ существует одно значение $x$.

2) Решение относительно $y$:

Теперь выразим $y$ через $x$:

Исходное уравнение:

$$2x — 3y^2 = -12$$

• Переносим $2x$ на правую сторону:

$$-3y^2 = -2x — 12$$

• Умножаем обе части на $-1$, чтобы избавиться от минусов:

$$3y^2 = 2x + 12$$

• Далее делим обе части на 3:

$$y^2 = \frac{2x + 12}{3}$$

• Упростим выражение:

$$y^2 = \frac{2}{3}x + 4$$

• Чтобы найти $y$, извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$$y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}x + 4}$$

Таким образом, для каждого значения $x$ существуют два возможных значения $y$ (положительное и отрицательное), поскольку извлечение квадратного корня дает два значения. Это делает уравнение нефункциональным относительно $y$, так как одному значению $x$ могут соответствовать два значения $y$.

3) Уравнение задает функцию вида:

Из полученных решений видно, что уравнение задает функцию только относительно $x$, так как для каждого значения $y$ существует одно значение $x$, но не наоборот.

Ответ:

$$x = \frac{3}{2}y^2 — 6; \quad y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}x + 4}$$

б) $\frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+4} = \frac{y}{y-3} \cdot \frac{y+1}{y+4}$

1) Первое решение:

Начнем с первого уравнения:

$$\frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+4} = \frac{y}{y-3} \cdot \frac{y+1}{y+4}$$

• Разделим обе части уравнения на одинаковые множители, чтобы получить:

$$\frac{x}{x-3} = \frac{y}{y-3}$$

• Теперь, чтобы избавиться от дробей, перемножим крест-накрест:

$$x(y-3) = y(x-3)$$

• Раскроем скобки:

$$xy — 3x = xy — 3y$$

• Переносим все члены с $x$ и $y$ на одну сторону:

$$-3x = -3y$$

• Упростим:

$$x = y$$

Это первое решение.

2) Второе решение:

Теперь рассмотрим второе решение из исходного уравнения:

$$\frac{x}{x-3} = \frac{y+1}{y+4}$$

• Перемножим крест-накрест:

$$x(y+4) = (y+1)(x-3)$$

• Раскроем скобки:

$$xy + 4x = xy — 3y + x — 3$$

• Переносим все члены, содержащие $x$ и $y$, на одну сторону:

$$4x = -3y + x — 3$$

• Переносим все члены, содержащие $x$, на одну сторону:

$$3x = -3y — 3$$

• Разделим обе части на 3:

$$x = -1 — y$$

Это второе решение.

3) Относительно $x$:

Мы уже получили два возможных решения для $x$:

$$x = y \quad \text{или} \quad x = -1 — y$$

4) Относительно $y$:

Теперь выразим $y$ через $x$. Из полученных решений:

$$y = x \quad \text{или} \quad y = -1 — x$$

5) Уравнение задает функцию вида:

Для каждого значения $x$ существует единственное значение $y$, и наоборот. Это значит, что уравнение задает функцию как по $x$, так и по $y$, но с ограничениями на значения переменных (при $x \neq 3$ и $x \neq -4$, и аналогичные ограничения для $y$).

Ответ:

$$x = y, \quad x = -1 — y, \text{ при } y \neq 3, -4;$$ $$y = x, \quad y = -1 — x, \text{ при } x \neq 3, -4.$$

Заключение:

1. В случае с уравнением $2x — 3y^2 = -12$ у нас есть решение относительно $x$, но для решения относительно $y$ существуют два значения $y$ для одного значения $x$. Это уравнение задает функцию только по $x$, но не по $y$.
2. В уравнении $\frac{x}{x-3} \cdot \frac{x+1}{x+4} = \frac{y}{y-3} \cdot \frac{y+1}{y+4}$ получаем два возможных решения для $x$ и $y$, и уравнение задает функцию по обеим переменным при определенных ограничениях.