ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) y = 2x²;

б) у = -3/x;

в) у = 0,5x²;

г) y=2/x

а) $y = 2x^2$;

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y \geq 0$;
• Координаты вершины параболы:
  • $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$;
• Координаты некоторых точек:
  

  $x$	$-2$	$-1$	$1$	$2$
  $y$	$8$	$2$	$2$	$8$

• График функции:

б) $y = -\frac{3}{x}$;

• Область определения: $x \neq 0$;
• Множество значений: $y \neq 0$;
• Уравнения асимптот гиперболы:
  • $x = 0$ и $y = 0$;
• Координаты некоторых точек:
  

  $x$	$-3$	$-1$	$1$	$3$
  $y$	$1$	$3$	$-3$	$-1$

• График функции:

в) $y = -0.5x^2$;

• Область определения: $x \in \mathbb{R}$;
• Множество значений: $y \leq 0$;
• Координаты вершины параболы:
  • $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$;
• Координаты некоторых точек:
  

  $x$	$-4$	$-2$	$2$	$4$
  $y$	$-8$	$-2$	$-2$	$-8$

• График функции:

г) $y = \frac{2}{x}$;

• Область определения: $x \neq 0$;
• Множество значений: $y \neq 0$;
• Уравнения асимптот гиперболы:
  • $x = 0$ и $y = 0$;
• Координаты некоторых точек:
  

  $x$	$-2$	$-1$	$1$	$2$
  $y$	$-1$	$-2$	$2$	$1$

• График функции:

а) $y = 2x^2$

1) Область определения:

• Область определения функции — это множество всех значений $x$, для которых функция существует. В данном случае у нас квадратичная функция, и она определена для всех значений $x \in \mathbb{R}$, то есть для всех действительных чисел.

  Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}$.

2) Множество значений:

• Множество значений функции — это все возможные значения $y$. Поскольку $y = 2x^2$, для любых значений $x$, результат всегда будет неотрицательным, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, и умножение на положительное число (2) сохраняет это свойство.

  Ответ: Множество значений: $y \geq 0$.

3) Вершина параболы:

• Для функции вида $y = ax^2 + b$ вершина параболы находится в точке $x_0 = 0$, так как нет линейного члена, который мог бы сдвигать вершину вправо или влево. Подставим $x = 0$ в уравнение:

  $$y_0 = 2(0)^2 = 0$$

  Таким образом, вершина параболы находится в точке $(x_0, y_0) = (0, 0)$.

4) Координаты некоторых точек:

• Подставим различные значения $x$ в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$:
  • Когда $x = -2$:

    $$y = 2(-2)^2 = 2 \times 4 = 8$$

    Точка: $(-2, 8)$.

  • Когда $x = -1$:

    $$y = 2(-1)^2 = 2 \times 1 = 2$$

    Точка: $(-1, 2)$.

  • Когда $x = 1$:

    $$y = 2(1)^2 = 2 \times 1 = 2$$

    Точка: $(1, 2)$.

  • Когда $x = 2$:

    $$y = 2(2)^2 = 2 \times 4 = 8$$

    Точка: $(2, 8)$.

  Ответ: Координаты некоторых точек:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & 8 & 2 & 2 & 8 \\ \hline \end{array}$$

5) График функции:

График функции $y = 2x^2$ — это парабола, открывающаяся вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Парабола симметрична относительно оси $y$, и её график будет иметь форму «U».

График функции:

б) $y = -\frac{3}{x}$

1) Область определения (Domain):

• Область определения функции состоит из всех значений $x$, при которых знаменатель функции не равен нулю. Поскольку в знаменателе есть $x$, функция не определена в точке $x = 0$.

  Ответ: Область определения: $x \neq 0$.

2) Множество значений (Range):

• Множество значений функции — это все возможные значения $y$. Функция $y = -\frac{3}{x}$ не может принимать значение $y = 0$, так как дробь не может быть равна нулю при любом $x$. Когда $x$ стремится к бесконечности (или $-\infty$), значение $y$ будет стремиться к нулю, но не достигать его.

  Ответ: Множество значений: $y \neq 0$.

3) Асимптоты:

• У этой функции есть две асимптоты:
  • Вертикальная асимптота в точке $x = 0$, так как значение функции стремится к бесконечности, когда $x$ приближается к 0.
  • Горизонтальная асимптота в точке $y = 0$, так как функция стремится к нулю при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$.

  Ответ: Уравнения асимптот: $x = 0$ и $y = 0$.

4) Координаты некоторых точек:

• Подставим значения $x$ в уравнение и находим $y$:
  • Когда $x = -3$:

    $$y = -\frac{3}{-3} = 1$$

    Точка: $(-3, 1)$.

  • Когда $x = -1$:

    $$y = -\frac{3}{-1} = 3$$

    Точка: $(-1, 3)$.

  • Когда $x = 1$:

    $$y = -\frac{3}{1} = -3$$

    Точка: $(1, -3)$.

  • Когда $x = 3$:

    $$y = -\frac{3}{3} = -1$$

    Точка: $(3, -1)$.

  Ответ: Координаты некоторых точек:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -1 & 1 & 3 \\ \hline y & 1 & 3 & -3 & -1 \\ \hline \end{array}$$

5) График функции:

График функции $y = -\frac{3}{x}$ представляет собой гиперболу, которая имеет асимптоты в точках $x = 0$ и $y = 0$.

График функции:

в) $y = -0.5x^2$

1) Область определения (Domain):

• Область определения функции — это все действительные числа, так как нет ограничений на $x$ в данном уравнении.

  Ответ: Область определения: $x \in \mathbb{R}$.

2) Множество значений (Range):

• Поскольку функция квадратичная, и её коэффициент перед $x^2$ отрицателен, то график будет иметь форму параболы, открывающейся вниз. Значение $y$ будет всегда меньше или равно нулю.

  Ответ: Множество значений: $y \leq 0$.

3) Вершина параболы:

• Вершина параболы находится в точке $(x_0, y_0) = (0, 0)$, так как парабола симметрична относительно оси $y$, и нет линейного члена, который бы сдвигал вершину.

4) Координаты некоторых точек:

• Подставим различные значения $x$ в уравнение:
  • Когда $x = -4$:

    $$y = -0.5(-4)^2 = -0.5 \times 16 = -8$$

    Точка: $(-4, -8)$.

  • Когда $x = -2$:

    $$y = -0.5(-2)^2 = -0.5 \times 4 = -2$$

    Точка: $(-2, -2)$.

  • Когда $x = 2$:

    $$y = -0.5(2)^2 = -0.5 \times 4 = -2$$

    Точка: $(2, -2)$.

  • Когда $x = 4$:

    $$y = -0.5(4)^2 = -0.5 \times 16 = -8$$

    Точка: $(4, -8)$.

  Ответ: Координаты некоторых точек:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & -2 & 2 & 4 \\ \hline y & -8 & -2 & -2 & -8 \\ \hline \end{array}$$

5) График функции:

График функции $y = -0.5x^2$ представляет собой параболу, открывающуюся вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$.

График функции:

г) $y = \frac{2}{x}$

1) Область определения (Domain):

• Функция $y = \frac{2}{x}$ не определена при $x = 0$, так как деление на ноль невозможно.

  Ответ: Область определения: $x \neq 0$.

2) Множество значений (Range):

• Эта функция может принимать любые значения $y$, кроме нуля, поскольку для любого значения $x \neq 0$ результат будет отличен от нуля.

  Ответ: Множество значений: $y \neq 0$.

3) Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$, так как значение функции стремится к бесконечности, когда $x$ приближается к 0.
• Горизонтальная асимптота: $y = 0$, так как при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$, значение функции стремится к нулю.

  Ответ: Уравнения асимптот: $x = 0$ и $y = 0$.

4) Координаты некоторых точек:

• Подставим значения $x$ в уравнение:
  • Когда $x = -2$:

    $$y = \frac{2}{-2} = -1$$

    Точка: $(-2, -1)$.

  • Когда $x = -1$:

    $$y = \frac{2}{-1} = -2$$

    Точка: $(-1, -2)$.

  • Когда $x = 1$:

    $$y = \frac{2}{1} = 2$$

    Точка: $(1, 2)$.

  • Когда $x = 2$:

    $$y = \frac{2}{2} = 1$$

    Точка: $(2, 1)$.

  Ответ: Координаты некоторых точек:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 & 2 \\ \hline y & -1 & -2 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

5) График функции:

График функции $y = \frac{2}{x}$ представляет собой гиперболу, которая имеет асимптоты в точках $x = 0$ и $y = 0$.

График функции: