ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = x^2 — 6x + 8$;

б) $y = -x^2 + 2x + 3$;

в) $y = x^2 + 4x + 7$;

г) $y = -2x^2 — 6x + 1$

а) $y = x^2 — 6x + 8$;

Координаты вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;$$ $$y_0 = 3^2 — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1;$$

Область определения: $x \in \mathbb{R}$;

Множество значений: $y \geq -1$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c c c c c c} x & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 8 & 3 & 0 & 0 & 3 & 8 \\ \end{array}$$

График функции:

б) $y = -x^2 + 2x + 3$;

Координаты вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = 1;$$ $$y_0 = -1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4;$$

Область определения: $x \in \mathbb{R}$;

Множество значений: $y \leq 4$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c c c c c c} x & -2 & -1 & 0 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 3 & 0 & -5 \\ \end{array}$$

График функции:

в) $y = x^2 + 4x + 7$;

Координаты вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2;$$ $$y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 7 = 4 — 8 + 7 = 3;$$

Область определения: $x \in \mathbb{R}$;

Множество значений: $y \geq 3$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c c c c c c} x & -5 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 12 & 7 & 4 & 4 & 7 & 12 \\ \end{array}$$

График функции:

г) $y = -2x^2 — 6x + 1$;

Координаты вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-2)} = \frac{6}{-4} = -1,5;$$ $$y_0 = -2 \cdot (1,5)^2 — 6 \cdot (-1,5) + 1 = -4,5 + 9 + 1 = 5,5;$$

Область определения: $x \in \mathbb{R}$;

Множество значений: $y \leq 5,5$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{c|c c c c c c} x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -7 & 1 & 5 & 5 & 1 & -7 \\ \end{array}$$

График функции:

а) $y = x^2 — 6x + 8$:

Координаты вершины параболы:

Парабола имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -6$, и $c = 8$.

Для нахождения координат вершины используем формулы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Подставляем значение $x_0 = 3$ в уравнение функции для нахождения $y_0$:

$$y_0 = 3^2 — 6 \cdot 3 + 8 = 9 — 18 + 8 = -1$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (3, -1)$.

Область определения:

Поскольку функция $y = x^2 — 6x + 8$ является полиномиальной, она определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, область определения:

$$x \in \mathbb{R}.$$

Множество значений:

Парабола открывается вверх (так как $a = 1 > 0$), и ее минимальное значение достигается в вершине. Так как $y_0 = -1$, то множество значений будет:

$$y \geq -1.$$

Координаты некоторых точек:

Для различных значений $x$, вычислим соответствующие значения $y$:

$$\begin{array}{c|c c c c c c} x & 0 & 1 & 2 & 4 & 5 & 6 \\ \hline y & 8 & 3 & 0 & 0 & 3 & 8 \\ \end{array}$$

График функции:

б) $y = -x^2 + 2x + 3$:

Координаты вершины параболы:

Для функции $y = -x^2 + 2x + 3$, где $a = -1$, $b = 2$, и $c = 3$, находим вершину:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = 1$$

Подставляем значение $x_0 = 1$ в уравнение функции для нахождения $y_0$:

$$y_0 = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (1, 4)$.

Область определения:

Поскольку функция полиномиальная, область определения $x \in \mathbb{R}$.

Множество значений:

Парабола открывается вниз (так как $a = -1 < 0$), и ее максимальное значение достигается в вершине. Следовательно, множество значений будет:

$$y \leq 4.$$

Координаты некоторых точек:

Для различных значений $x$, вычислим соответствующие значения $y$:

$$\begin{array}{c|c c c c c c} x & -2 & -1 & 0 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & -5 & 0 & 3 & 3 & 0 & -5 \\ \end{array}$$

График функции:

в) $y = x^2 + 4x + 7$:

Координаты вершины параболы:

Для функции $y = x^2 + 4x + 7$, где $a = 1$, $b = 4$, и $c = 7$, находим вершину:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -2$$

Подставляем значение $x_0 = -2$ в уравнение функции для нахождения $y_0$:

$$y_0 = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 7 = 4 — 8 + 7 = 3$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (-2, 3)$.

Область определения:

Поскольку функция полиномиальная, область определения $x \in \mathbb{R}$.

Множество значений:

Парабола открывается вверх (так как $a = 1 > 0$), и ее минимальное значение достигается в вершине. Следовательно, множество значений будет:

$$y \geq 3.$$

Координаты некоторых точек:

Для различных значений $x$, вычислим соответствующие значения $y$:

$$\begin{array}{c|c c c c c c} x & -5 & -4 & -3 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & 12 & 7 & 4 & 4 & 7 & 12 \\ \end{array}$$

График функции:

г) $y = -2x^2 — 6x + 1$:

Координаты вершины параболы:

Для функции $y = -2x^2 — 6x + 1$, где $a = -2$, $b = -6$, и $c = 1$, находим вершину:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot (-2)} = \frac{6}{-4} = -1.5$$

Подставляем значение $x_0 = -1.5$ в уравнение функции для нахождения $y_0$:

$$y_0 = -2 \cdot (1.5)^2 — 6 \cdot (-1.5) + 1 = -4.5 + 9 + 1 = 5.5$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (-1.5, 5.5)$.

Область определения:

Поскольку функция полиномиальная, область определения $x \in \mathbb{R}$.

Множество значений:

Парабола открывается вниз (так как $a = -2 < 0$), и ее максимальное значение достигается в вершине. Следовательно, множество значений будет:

$$y \leq 5.5.$$

Координаты некоторых точек:

Для различных значений $x$, вычислим соответствующие значения $y$:

$$\begin{array}{c|c c c c c c} x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y & -7 & 1 & 5 & 5 & 1 & -7 \\ \end{array}$$

График функции: