ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя условие задания 7.1, выразите площадь S(x) части многоугольника ABCDEF, расположенной слева от прямой $M_1{M}_2$, как функцию от длины отрезка $A{M}_1$ = x.

На рисунке 1 изображен шестиугольник $ABCDEF$, составленный из двух прямоугольников, причем $AB = 10$, $BC = CD = 3$, $DE = 2$, $AM_1 = x$;

Длина отрезка $AD’$:

$$BD’ = CD = 3;$$ $$AD’ = AB — BD’ = 10 — 3 = 7;$$

Если $0 \leq x \leq 7$, тогда:

$$S_{M_1D’EM_2} = M_1D’ \cdot ED’ = (AD’ — AM_1) \cdot (BC + DE);$$ $$S_{M_1D’EM_2} = (7 — x)(3 + 2) = (7 — x) \cdot 5 = 35 — 5x;$$ $$S’_{BCDD’} = BC \cdot CD = 3 \cdot 3 = 9;$$ $$S_{M_1BCDEM_2} = S_{M_1D’EM_2} + S’_{BCDD’} = 35 — 5x + 9 = 44 — 5x;$$

Если $7 < x \leq 10$, тогда:

$$S_{M_1BCDEM_2} = S_{M_1BCM_2} = M_1B \cdot CB = (AB — AM_1) \cdot CB;$$ $$S_{M_1BCDE_2} = (10 — x) \cdot 3 = 30 — 3x;$$

Ответ:

$$S(x) = \begin{cases} 44 — 5x, & \text{если } 0 \leq x \leq 7 \\ 30 — 3x, & \text{если } 7 < x \leq 10 \end{cases}$$

На рисунке 1 изображен шестиугольник $ABCDEF$, составленный из двух прямоугольников, причем $AB = 10$, $BC = CD = 3$, $DE = 2$, $AM_1 = x$.

1) Длина отрезка $AD’$:

Отрезок $AD’$ является горизонтальной стороной одного из прямоугольников, составляющих шестиугольник.

1.1. Длина отрезка $BD’$:

Из условия задачи известно, что $CD = 3$. Поскольку $BD’$ является стороной того же прямоугольника, что и $CD$, то:

$$BD’ = CD = 3.$$

1.2. Длина отрезка $AD’$:

Сторона $AD’$ равна разности между длиной стороны $AB$ и длиной стороны $BD’$. То есть:

$$AD’ = AB — BD’ = 10 — 3 = 7.$$

2) Если $0 \leq x \leq 7$, то вычислим площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$:

Теперь рассмотрим шестиугольник, разделенный на две части: $M_1D’EM_2$ и $BCDD’$.

2.1. Площадь прямоугольника $M_1D’EM_2$:

• Прямоугольник $M_1D’EM_2$ имеет одну сторону, равную разности $AD’ — AM_1 = 7 — x$, где $x$ — это длина отрезка $AM_1$.
• Другая сторона прямоугольника $M_1D’EM_2$ равна сумме $BC + DE = 3 + 2 = 5$.

Таким образом, площадь прямоугольника $M_1D’EM_2$ вычисляется как произведение этих сторон:

$$S_{M_1D’EM_2} = (AD’ — AM_1) \cdot (BC + DE) = (7 — x) \cdot 5 = 5(7 — x) = 35 — 5x.$$

2.2. Площадь прямоугольника $BCDD’$:

Прямоугольник $BCDD’$ имеет стороны $BC = 3$ и $CD = 3$, поэтому его площадь равна:

$$S’_{BCDD’} = BC \cdot CD = 3 \cdot 3 = 9.$$

2.3. Общая площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$:

Теперь, чтобы найти общую площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$, нужно сложить площади двух прямоугольников:

$$S_{M_1BCDEM_2} = S_{M_1D’EM_2} + S’_{BCDD’} = (35 — 5x) + 9 = 44 — 5x.$$

Таким образом, если $0 \leq x \leq 7$, то площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$ равна:

$$S_{M_1BCDEM_2} = 44 — 5x.$$

3) Если $7 < x \leq 10$, то вычислим площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$:

Когда $x$ больше 7, но не превышает 10, ситуация изменяется. Нам нужно будет найти площадь прямоугольника $M_1BCM_2$, который образуется, если отрезок $M_1M_2$ параллелен отрезку $AF$.

3.1. Площадь прямоугольника $M_1BCM_2$:

Для прямоугольника $M_1BCM_2$ стороны:

• $M_1B = AB — AM_1 = 10 — x$,
• $BC = 3$.

Таким образом, площадь прямоугольника $M_1BCM_2$ равна произведению этих сторон:

$$S_{M_1BCM_2} = M_1B \cdot BC = (AB — AM_1) \cdot BC = (10 — x) \cdot 3 = 3(10 — x) = 30 — 3x.$$

3.2. Общая площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$:

В этом случае, площадь шестиугольника $M_1BCDEM_2$ просто равна площади прямоугольника $M_1BCM_2$, поскольку другие части фигуры больше не учитываются:

$$S_{M_1BCDEM_2} = S_{M_1BCM_2} = 30 — 3x.$$

Ответ:

Теперь, объединив все вычисления, можно записать ответ в виде кусочной функции для площади шестиугольника $M_1BCDEM_2$, в зависимости от значения $x$:

$$S(x) = \begin{cases} 44 — 5x, & \text{если } 0 \leq x \leq 7 \\ 30 — 3x, & \text{если } 7 < x \leq 10 \end{cases}$$