ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции и найдите область ее значений:

а) $y = 2x^2 — 1$, $x \in (-2; 1]$;

б) $y = \frac{x + 1}{x — 1}$, $x \in [0; +\infty)$;

в) $y = \sqrt{x + 3} — 1$, $x \in (-2; 1]$;

г) $y = 2x^2 + 2x — 1$, $x \in [-1; 2]$.

а) $y = 2x^2 — 1$, где $x \in [-2; 1]$;

Координаты вершины параболы:

$$x_0 = 0 \quad \text{и} \quad y_0 = -1;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 \\ \hline y & 7 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: $E(f) = [-1; 7]$.

б) $y = \frac{x + 1}{x — 1}$, где $x \in [0; +\infty)$;

$$y = \frac{x — 1 + 2}{x — 1} = 1 + \frac{2}{x — 1};$$

Уравнения асимптот гиперболы:

$$x = 1 \quad \text{и} \quad y = 1;$$

Функция убывает, так как $k = 1 > 0$;

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & -1 & 3 & 2 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: $E(f) = (-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x + 3} — 1$, где $x \in (-2; 1]$;

Координаты вершины ветви параболы:

$$x_0 = -3 \quad \text{и} \quad y_0 = -1;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 1 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: $E(f) = (0; 1]$.

г) $y = 2x^2 + 2x — 1$, где $x \in [-1; 2]$;

Координаты вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0.5;$$ $$y_0 = 2 \cdot (-0.5)^2 + 2 \cdot (-0.5) — 1 = 0.5 — 1 — 1 = -1.5;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -1 & -1 & 3 & 11 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Ответ: $E(f) = [-1.5; 11]$.

а) $y = 2x^2 — 1$, где $x \in [-2; 1]$

1. Координаты вершины параболы:

• Для функции $y = 2x^2 — 1$, это стандартная квадратичная функция. Вершина параболы находится в точке, где производная функции равна нулю (точка экстремума). Это будет точка минимума, так как коэффициент при $x^2$ положительный.

  Формула для нахождения абсциссы вершины параболы $x_0$ в функции вида $y = ax^2 + bx + c$ дается как:

  $$x_0 = -\frac{b}{2a}.$$

  В данном случае $a = 2$, $b = 0$, $c = -1$, так что:

  $$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0.$$

• Чтобы найти $y_0$, подставим $x_0 = 0$ в исходную функцию:

  $$y_0 = 2 \cdot (0)^2 — 1 = -1.$$

  Таким образом, координаты вершины параболы:

  $$(x_0, y_0) = (0, -1).$$

2. Координаты некоторых точек:

• Для того чтобы построить график, подставим несколько значений $x$ из заданного промежутка $[-2; 1]$ и вычислим соответствующие значения $y$.
  • При $x = -2$:

    $$y = 2 \cdot (-2)^2 — 1 = 2 \cdot 4 — 1 = 8 — 1 = 7.$$

  • При $x = -1$:

    $$y = 2 \cdot (-1)^2 — 1 = 2 \cdot 1 — 1 = 2 — 1 = 1.$$

  • При $x = 1$:

    $$y = 2 \cdot 1^2 — 1 = 2 \cdot 1 — 1 = 2 — 1 = 1.$$

  Таким образом, получаем следующие точки:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 1 \\ \hline y & 7 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$

3. График функции:

• Функция $y = 2x^2 — 1$ является параболой, открывающейся вверх (так как $a = 2 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$, а на отрезке $[-2; 1]$ парабола проходит через точки $(-2, 7)$, $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.
  • Таким образом, график будет выглядеть как парабола с вершиной в точке $(0, -1)$ и симметрией относительно оси $x = 0$.

Ответ: $E(f) = [-1; 7]$.

б) $y = \frac{x + 1}{x — 1}$, где $x \in [0; +\infty)$

1. Преобразование функции:

• Мы можем преобразовать исходную функцию, чтобы удобнее было анализировать её поведение:

  $$y = \frac{x + 1}{x — 1} = \frac{x — 1 + 2}{x — 1} = 1 + \frac{2}{x — 1}.$$

  Это представление позволяет лучше увидеть поведение функции и её асимптоты.

2. Уравнения асимптот гиперболы:

• Вертикальная асимптота: Возникает, когда знаменатель функции равен нулю, то есть $x — 1 = 0$, то есть при $x = 1$.
  • Уравнение вертикальной асимптоты: $x = 1$.
• Горизонтальная асимптота: Когда $x \to +\infty$, дробь $\frac{2}{x — 1}$ стремится к нулю, и функция стремится к значению $1$. Таким образом, горизонтальная асимптота будет в $y = 1$.
  • Уравнение горизонтальной асимптоты: $y = 1$.

3. Функция убывает:

• Поскольку выражение $\frac{2}{x — 1}$ отрицательно для $x \in [0; 1)$ и положительно для $x > 1$, функция убывает для $x \in [0; 1)$ и возрастает для $x > 1$. Так как $k = 1$ (положительное значение при преобразовании), функция имеет восходящий характер для $x > 1$.

4. Координаты некоторых точек:

• Подставим несколько значений $x$ из отрезка $[0; +\infty)$:
  • При $x = 0$:

    $$y = 1 + \frac{2}{0 — 1} = 1 + \frac{2}{-1} = 1 — 2 = -1.$$

  • При $x = 2$:

    $$y = 1 + \frac{2}{2 — 1} = 1 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3.$$

  • При $x = 3$:

    $$y = 1 + \frac{2}{3 — 1} = 1 + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2.$$

  Таким образом, получаем следующие точки:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & -1 & 3 & 2 \\ \hline \end{array}$$

5. График функции:

• График функции представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой $x = 1$ и горизонтальной асимптотой $y = 1$. Функция имеет два разделённых участка: один при $x \in [0, 1)$, где $y \to -\infty$, и второй при $x > 1$, где функция возрастает от значения $y = 1$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; -1] \cup (1; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{x + 3} — 1$, где $x \in (-2; 1]$

1. Координаты вершины ветви параболы:

• Функция $y = \sqrt{x + 3} — 1$ представляет собой ветвь параболы, сдвинутую на 3 единицы влево и на 1 вниз относительно стандартной функции $y = \sqrt{x}$.
• Вершина этой ветви будет при $x = -3$, так как $x + 3 = 0$ когда $x = -3$.

  $$x_0 = -3, \quad y_0 = \sqrt{-3 + 3} — 1 = 0 — 1 = -1.$$

  Таким образом, координаты вершины: $(x_0, y_0) = (-3, -1)$.

2. Координаты некоторых точек:

• Подставим несколько значений $x$ из отрезка $(-2; 1]$:
  • При $x = -2$:

    $$y = \sqrt{-2 + 3} — 1 = \sqrt{1} — 1 = 1 — 1 = 0.$$

  • При $x = 1$:

    $$y = \sqrt{1 + 3} — 1 = \sqrt{4} — 1 = 2 — 1 = 1.$$

  Таким образом, получаем следующие точки:

  $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 1 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$

3. График функции:

• График функции представляет собой верхнюю ветвь параболы, начиная с точки $(-3, -1)$, с точками $(-2, 0)$ и $(1, 1)$ на графике. Это сдвиг функции $y = \sqrt{x}$.

Ответ: $E(f) = (0; 1]$.

г) $y = 2x^2 + 2x — 1$, где $x \in [-1; 2]$

1. Координаты вершины параболы:

• Для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, координаты вершины можно найти по формуле для абсциссы вершины:

  $$x_0 = -\frac{b}{2a}.$$

  В данной функции $a = 2$, $b = 2$, $c = -1$:

  $$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0.5.$$

• Чтобы найти ординату вершины $y_0$, подставим $x_0 = -0.5$ в исходное уравнение:

  $$y_0 = 2 \cdot (-0.5)^2 + 2 \cdot (-0.5) — 1 = 0.5 — 1 — 1 = -1.5.$$

  Таким образом, вершина параболы имеет координаты:

  $$(x_0, y_0) = (-0.5, -1.5).$$

2. Координаты некоторых точек:

• Подставим несколько значений $x$ из отрезка $[-1; 2]$:
  • При $x = -1$:

    $$y = 2 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) — 1 = 2 \cdot 1 — 2 — 1 = -1.$$

  • При $x = 0$:

    $$y = 2 \cdot (0)^2 + 2 \cdot (0) — 1 = -1.$$

  • При $x = 1$:

    $$y = 2 \cdot (1)^2 + 2 \cdot (1) — 1 = 2 \cdot 1 + 2 — 1 = 3.$$

  • При $x = 2$:

    $$y = 2 \cdot (2)^2 + 2 \cdot (2) — 1 = 2 \cdot 4 + 4 — 1 = 11.$$

  Получаем таблицу:

  $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -1 & -1 & 3 & 11 \\ \hline \end{array}$$

3. График функции:

• График функции — это парабола, которая открывается вверх, с вершиной в точке $(-0.5, -1.5)$.

Ответ: $E(f) = [-1.5; 11]$.