ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{1}{x^2 — 1}$;

б) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

в) $y = \frac{x — 2}{x^2 — x — 12}$;

г) $y = \frac{x + 2}{x^2 + x + 12}$

а) $y = \frac{1}{x^2 — 1}$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — 1 \neq 0;$
$x^2 \neq 1;$
$x \neq \pm 1;$

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 + 1 \neq 0;$
$x^2 \neq -1;$
$x \in \mathbb{R};$

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \frac{x — 2}{x^2 — x — 12}$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — x — 12 \neq 0;$
Дискриминант: $D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:
$x_1 \neq \frac{1 — 7}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 \neq \frac{1 + 7}{2} = 4;$

Ответ: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 4) \cup (4; +\infty)$.

г) $y = \frac{x + 2}{x^2 + x + 12}$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2 + x + 12 \neq 0;$
Дискриминант: $D = 1^2 — 4 \cdot 12 = 1 — 48 = -47 < 0;$
$x \in \mathbb{R};$

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

а) $y = \frac{1}{x^2 — 1}$

Чтобы найти область определения функции, нужно разобраться, при каких значениях $x$ выражение в знаменателе не становится нулевым, так как деление на ноль невозможно.

Исходное выражение:

$$y = \frac{1}{x^2 — 1}$$

Найдем, при каких значениях $x$ знаменатель равен нулю:

$$x^2 — 1 = 0$$

Это уравнение можно переписать как:

$$x^2 = 1$$

Таким образом, $x = \pm 1$.

Выражение будет неопределенным при $x = 1$ и $x = -1$, так как в этих точках знаменатель равен нулю.

Следовательно, область определения функции $f(x)$ будет включать все значения $x$, кроме $x = 1$ и $x = -1$.

Ответ:

$$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$$

б) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$

Здесь также нужно найти, при каких значениях $x$ выражение в знаменателе становится равным нулю.

Исходное выражение:

$$y = \frac{1}{x^2 + 1}$$

Найдем, при каких значениях $x$ знаменатель равен нулю:

$$x^2 + 1 = 0$$

Это уравнение можно переписать как:

$$x^2 = -1$$

Однако, уравнение $x^2 = -1$ не имеет решений в действительных числах, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю для действительных $x$. Значит, выражение всегда определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ:

$$D(f) = (-\infty; +\infty)$$

в) $y = \frac{x — 2}{x^2 — x — 12}$

Для нахождения области определения функции, нужно найти значения $x$, при которых знаменатель будет равен нулю, поскольку в этих точках функция не определена.

Исходное выражение:

$$y = \frac{x — 2}{x^2 — x — 12}$$

Найдем, при каких значениях $x$ знаменатель равен нулю:

$$x^2 — x — 12 = 0$$

Это квадратное уравнение, решим его с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем случае $a = 1$, $b = -1$, $c = -12$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два различных корня.

Найдем корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения $b = -1$, $D = 49$ и $a = 1$:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 7}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$$

Функция не определена при $x = -3$ и $x = 4$, так как в этих точках знаменатель равен нулю.

Ответ:

$$D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 4) \cup (4; +\infty)$$

г) $y = \frac{x + 2}{x^2 + x + 12}$

Для нахождения области определения этой функции, также нужно выяснить, при каких значениях $x$ знаменатель будет равен нулю.

Исходное выражение:

$$y = \frac{x + 2}{x^2 + x + 12}$$

Найдем, при каких значениях $x$ знаменатель равен нулю:

$$x^2 + x + 12 = 0$$

Это квадратное уравнение, решим его с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем случае $a = 1$, $b = 1$, $c = 12$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 — 48 = -47$$

Дискриминант отрицательный, значит, у уравнения нет действительных корней.

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю для действительных $x$.

Значит, выражение всегда определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ:

$$D(f) = (-\infty; +\infty)$$

Итоговые ответы:

1. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$
2. $D(f) = (-\infty; +\infty)$
3. $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 4) \cup (4; +\infty)$
4. $D(f) = (-\infty; +\infty)$