ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$;

б) $y = \sqrt{\frac{x-12}{x^2 — 16x + 48}}$;

в) $y = \sqrt{\frac{-4x}{-10-x}}$;

г) $y = \sqrt{\frac{x+11}{x^2 + 14x + 33}}$

а) $y = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x}{x-1} \geq 0;$$ $$x(x-1) \geq 0;$$ $$x \leq 0 \text{ и } x > 1;$$

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0] \cup (1; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{\frac{x-12}{x^2 — 16x + 48}}$;

Разложим многочлен на множители:

$$x^2 — 16x + 48 = 0;$$ $$D = 16^2 — 4 \cdot 48 = 256 — 192 = 64, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{16 — 8}{2} = 4 \text{ и } x_2 = \frac{16 + 8}{2} = 12;$$ $$(x — 4)(x — 12) = 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x-12}{x^2 — 16x + 48} \geq 0;$$ $$\frac{x-12}{(x-12)(x-4)} \geq 0;$$ $$\frac{1}{x-4} \geq 0;$$ $$x — 4 > 0;$$ $$x > 4 \text{ и } x \neq 12;$$

Ответ: $D(f) = (4; 12) \cup (12; +\infty)$.

в) $y = \sqrt{\frac{-4x}{-10-x}}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{-4x}{-10-x} \geq 0;$$ $$\frac{4x}{10+x} \geq 0;$$ $$(10+x) \cdot 4x \geq 0;$$ $$x < -10 \text{ и } x \geq 0;$$

Ответ: $D(f) = (-\infty; -10) \cup [0; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{\frac{x+11}{x^2 + 14x + 33}}$;

Разложим многочлен на множители:

$$x^2 + 14x + 33 = 0;$$ $$D = 14^2 — 4 \cdot 33 = 196 — 132 = 64, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-14 — 8}{2} = -11 \text{ и } x_2 = \frac{-14 + 8}{2} = -3;$$ $$(x + 11)(x + 3) = 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x+11}{x^2 + 14x + 33} \geq 0;$$ $$\frac{x+11}{(x+11)(x+3)} \geq 0;$$ $$\frac{1}{x+3} \geq 0;$$ $$x + 3 > 0;$$ $$x > -3 \text{ и } x \neq -11;$$

Ответ: $D(f) = (-3; +\infty)$.

а) $y = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$;

Чтобы найти область определения функции, необходимо, чтобы выражение под радикалом было неотрицательным, то есть:

$$\frac{x}{x-1} \geq 0.$$

Это неравенство будет выполняться, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая:

1. Числитель и знаменатель оба положительные:

• Числитель: $x > 0$.
• Знаменатель: $x — 1 > 0$, то есть $x > 1$.

Следовательно, если $x > 1$, то выражение будет положительным.

2. Числитель и знаменатель оба отрицательные:

• Числитель: $x < 0$.
• Знаменатель: $x — 1 < 0$, то есть $x < 1$.

Следовательно, если $x < 0$, то выражение будет тоже положительным.

Однако, $x = 1$ делает знаменатель равным нулю, что ведет к неопределенности. Поэтому $x = 1$ не может быть в области определения.

Таким образом, область определения:

$$x \leq 0 \text{ или } x > 1.$$

Ответ:

$$D(f) = (-\infty; 0] \cup (1; +\infty).$$

б) $y = \sqrt{\frac{x-12}{x^2 — 16x + 48}}$;

Разложим квадратный многочлен в знаменателе:

$$x^2 — 16x + 48.$$

Для того чтобы разложить его на множители, найдем дискриминант:

$$D = (-16)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 — 192 = 64.$$

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-16) — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{16 — 8}{2} = 4,$$ $$x_2 = \frac{-(-16) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 8}{2} = 12.$$

Таким образом, многочлен раскладывается как:

$$x^2 — 16x + 48 = (x — 4)(x — 12).$$

Теперь найдем область определения функции $y = \sqrt{\frac{x-12}{(x-4)(x-12)}}$. Для этого выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$\frac{x-12}{(x-4)(x-12)} \geq 0.$$

Упростим выражение:

$$\frac{x-12}{(x-12)(x-4)} = \frac{1}{x-4}.$$

Теперь решим неравенство:

$$\frac{1}{x-4} \geq 0.$$

Это неравенство выполняется, когда $x — 4 > 0$, то есть $x > 4$.

Кроме того, значение $x = 12$ вызывает нулевой знаменатель, так как $x = 12$ делает выражение неопределенным, следовательно, $x \neq 12$.

Ответ:

$$D(f) = (4; 12) \cup (12; +\infty).$$

в) $y = \sqrt{\frac{-4x}{-10-x}}$;

Рассмотрим выражение под корнем:

$$\frac{-4x}{-10-x}.$$

Для того чтобы это выражение было неотрицательным, нужно решить неравенство:

$$\frac{4x}{10 + x} \geq 0.$$

Теперь рассмотрим множители. Числитель будет положительным, если $x \geq 0$. Знаменатель будет положительным, если $x > -10$. Следовательно, мы получаем два условия:

• $x \geq 0$,
• $x > -10$.

Таким образом, условие, при котором выражение под корнем будет неотрицательным:

$$x < -10 \text{ или } x \geq 0.$$

Ответ:

$$D(f) = (-\infty; -10) \cup [0; +\infty).$$

г) $y = \sqrt{\frac{x+11}{x^2 + 14x + 33}}$;

Разложим квадратный многочлен в знаменателе:

$$x^2 + 14x + 33.$$

Для нахождения корней используем формулу дискриминанта:

$$D = 14^2 — 4 \cdot 1 \cdot 33 = 196 — 132 = 64.$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-14 — 8}{2} = -11,$$ $$x_2 = \frac{-14 + 8}{2} = -3.$$

Таким образом, многочлен раскладывается как:

$$x^2 + 14x + 33 = (x + 11)(x + 3).$$

Теперь находим область определения для функции:

$$y = \sqrt{\frac{x+11}{(x+11)(x+3)}}.$$

Для того чтобы выражение под корнем было неотрицательным, нужно решить неравенство:

$$\frac{x+11}{(x+11)(x+3)} \geq 0.$$

Упростим выражение:

$$\frac{x+11}{(x+11)(x+3)} = \frac{1}{x+3}.$$

Теперь решим неравенство:

$$\frac{1}{x+3} \geq 0.$$

Это неравенство выполняется, когда $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.

Также, значение $x = -11$ делает числитель нулевым, что приводит к нулю, но это допустимо.

Ответ:

$$D(f) = (-3; +\infty).$$