ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $f(x) = \frac{3x + 2}{x — 2}$. Найдите:

а) $f\left(\frac{1}{x}\right)$

б) $f(2x-1)$

в) $f(5)$

г) $f(x)$

Дана функция $f(x) = \frac{3x + 2}{x — 2}$.

а) $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3 \cdot \frac{1}{x} + 2}{\frac{1}{x} — 2} = \frac{\frac{3}{x} + 2}{\frac{1}{x} — 2} = \frac{\frac{3 + 2x}{x}}{\frac{1 — 2x}{x}} = \frac{3 + 2x}{1 — 2x}$.

Ответ: $\frac{3 + 2x}{1 — 2x}$.

б) $f(2x — 1) = \frac{3(2x — 1) + 2}{(2x — 1) — 2} = \frac{6x — 3 + 2}{2x — 1 — 2} = \frac{6x — 1}{2x — 3}$.

Ответ: $\frac{6x — 1}{2x — 3}$.

в) $f(5) = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5 — 2} = \frac{15 + 2}{3} = \frac{17}{3}$;

$f(f(5)) = f\left(\frac{17}{3}\right) = \frac{3 \cdot \frac{17}{3} + 2}{\frac{17}{3} — 2} = \frac{\frac{51}{3} + \frac{6}{3}}{\frac{17}{3} — \frac{6}{3}} = \frac{\frac{57}{3}}{\frac{11}{3}} = \frac{57}{11} = 5 \frac{2}{11}$.

Ответ: $5 \frac{2}{11}$.

г) $f(x) = \frac{3x + 2}{x — 2}$;

$f(f(x)) = f\left(\frac{3x + 2}{x — 2}\right) = \frac{3 \cdot \frac{3x + 2}{x — 2} + 2}{\frac{3x + 2}{x — 2} — 2} = \frac{\frac{3(3x + 2)}{x — 2} + \frac{2(x — 2)}{x — 2}}{\frac{3x + 2}{x — 2} — \frac{2(x — 2)}{x — 2}} = \frac{\frac{9x + 6 + 2x — 4}{x — 2}}{\frac{3x + 2 — 2x + 4}{x — 2}} = \frac{\frac{11x + 2}{x — 2}}{\frac{x + 6}{x — 2}} = \frac{11x + 2}{x + 6}$.

Ответ: $\frac{11x + 2}{x + 6}$.

Дана функция:

$$f(x) = \frac{3x + 2}{x — 2}$$

а) $f\left(\frac{1}{x}\right)$

Нам нужно найти значение функции $f(x)$, если в качестве аргумента подставлен $\frac{1}{x}$, то есть $f\left(\frac{1}{x}\right)$.

Исходная формула для функции:

$$f(x) = \frac{3x + 2}{x — 2}$$

Подставим $\frac{1}{x}$ вместо $x$:

$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3 \cdot \frac{1}{x} + 2}{\frac{1}{x} — 2}$$

Упростим числитель и знаменатель. Начнем с числителя:

$$3 \cdot \frac{1}{x} + 2 = \frac{3}{x} + 2$$

Теперь, приведем 2 к общему знаменателю:

$$\frac{3}{x} + 2 = \frac{3}{x} + \frac{2x}{x} = \frac{3 + 2x}{x}$$

Теперь у нас числитель: $\frac{3 + 2x}{x}$.

Переходим к знаменателю:

$$\frac{1}{x} — 2 = \frac{1}{x} — \frac{2x}{x} = \frac{1 — 2x}{x}$$

Теперь у нас знаменатель: $\frac{1 — 2x}{x}$.

Подставляем эти выражения в нашу формулу для $f\left(\frac{1}{x}\right)$:

$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\frac{3 + 2x}{x}}{\frac{1 — 2x}{x}}$$

Видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $\frac{1}{x}$, который можно сократить:

$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3 + 2x}{1 — 2x}$$

Ответ: $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3 + 2x}{1 — 2x}$.

б) $f(2x — 1)$

Теперь нам нужно найти значение функции $f(x)$, если в качестве аргумента подставлено выражение $2x — 1$.

Исходная функция:

$$f(x) = \frac{3x + 2}{x — 2}$$

Подставим $2x — 1$ вместо $x$:

$$f(2x — 1) = \frac{3(2x — 1) + 2}{(2x — 1) — 2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$3(2x — 1) + 2 = 6x — 3 + 2 = 6x — 1$$

Теперь числитель: $6x — 1$.

Перейдем к знаменателю:

$$(2x — 1) — 2 = 2x — 1 — 2 = 2x — 3$$

Теперь знаменатель: $2x — 3$.

Подставляем эти выражения обратно:

$$f(2x — 1) = \frac{6x — 1}{2x — 3}$$

Ответ: $f(2x — 1) = \frac{6x — 1}{2x — 3}$.

в) $f(5)$ и $f(f(5))$

Теперь нам нужно сначала найти $f(5)$, а затем найти $f(f(5))$.

Начнем с нахождения $f(5)$:

$$f(5) = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5 — 2}$$

Упростим числитель:

$$3 \cdot 5 + 2 = 15 + 2 = 17$$

Теперь числитель: $17$.

Упростим знаменатель:

$$5 — 2 = 3$$

Теперь знаменатель: $3$.

Получаем:

$$f(5) = \frac{17}{3}$$

Теперь, когда мы нашли $f(5) = \frac{17}{3}$, найдем $f(f(5))$.

Подставляем $f(5) = \frac{17}{3}$ в функцию $f$:

$$f\left(\frac{17}{3}\right) = \frac{3 \cdot \frac{17}{3} + 2}{\frac{17}{3} — 2}$$

Упростим числитель:

$$3 \cdot \frac{17}{3} + 2 = \frac{51}{3} + 2 = \frac{51}{3} + \frac{6}{3} = \frac{57}{3}$$

Теперь числитель: $\frac{57}{3}$.

Упростим знаменатель:

$$\frac{17}{3} — 2 = \frac{17}{3} — \frac{6}{3} = \frac{17 — 6}{3} = \frac{11}{3}$$

Теперь знаменатель: $\frac{11}{3}$.

Подставляем эти выражения:

$$f\left(\frac{17}{3}\right) = \frac{\frac{57}{3}}{\frac{11}{3}} = \frac{57}{11}$$

Преобразуем в смешанное число:

$$\frac{57}{11} = 5 \frac{2}{11}$$

Ответ: $f(f(5)) = 5 \frac{2}{11}$.

г) $f(f(x))$

Теперь нам нужно найти $f(f(x))$.

Исходная функция:

$$f(x) = \frac{3x + 2}{x — 2}$$

Подставим $f(x) = \frac{3x + 2}{x — 2}$ в саму функцию $f$:

$$f(f(x)) = f\left(\frac{3x + 2}{x — 2}\right)$$

Подставим $\frac{3x + 2}{x — 2}$ вместо $x$ в исходную формулу для функции:

$$f\left(\frac{3x + 2}{x — 2}\right) = \frac{3 \cdot \frac{3x + 2}{x — 2} + 2}{\frac{3x + 2}{x — 2} — 2}$$

Упростим числитель:

$$3 \cdot \frac{3x + 2}{x — 2} + 2 = \frac{9x + 6}{x — 2} + \frac{2(x — 2)}{x — 2} = \frac{9x + 6 + 2x — 4}{x — 2} = \frac{11x + 2}{x — 2}$$

Теперь числитель: $\frac{11x + 2}{x — 2}$.

Упростим знаменатель:

$$\frac{3x + 2}{x — 2} — 2 = \frac{3x + 2}{x — 2} — \frac{2(x — 2)}{x — 2} = \frac{3x + 2 — 2x + 4}{x — 2} = \frac{x + 6}{x — 2}$$

Теперь знаменатель: $\frac{x + 6}{x — 2}$.

Подставляем это в формулу:

$$f(f(x)) = \frac{\frac{11x + 2}{x — 2}}{\frac{x + 6}{x — 2}}$$

Сокращаем общий множитель $\frac{1}{x — 2}$:

$$f(f(x)) = \frac{11x + 2}{x + 6}$$

Ответ: $f(f(x)) = \frac{11x + 2}{x + 6}$.

Итог:

а) $f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{3 + 2x}{1 — 2x}$
б) $f(2x — 1) = \frac{6x — 1}{2x — 3}$
в) $f(f(5)) = 5 \frac{2}{11}$
г) $f(f(x)) = \frac{11x + 2}{x + 6}$