ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Пусть $f(x) = x^2 + 2$. Докажите, что $f(x) = f(-x)$.

б) Пусть $f(x) = -x^3 + 2x$. Докажите, что $f(x) = -f(-x)$.

в) Пусть $f(x) = \frac{1}{x}$. Докажите, что $(f(x))^{-1} = f\left(\frac{1}{x}\right)$.

г) Пусть $f(x) = x^2 + 2$. Докажите, что $f(|x|) = f(x)$, а $|f(x)| = f(x)$.

а) $f(x) = x^2 + 2$;
$f(-x) = (-x)^2 + 2 = x^2 + 2 = f(x)$;
Утверждение доказано.

б) $f(x) = -x^3 + 2x$;
$f(-x) = -(-x)^3 + 2(-x) = x^3 — 2x$;
$-f(-x) = -(x^3 — 2x) = -x^3 + 2x = f(x)$;
Утверждение доказано.

в) $f(x) = \frac{1}{x}$;
$(f(x))^{-1} = \left( \frac{1}{x} \right)^{-1} = 1 : \frac{1}{x} = x$;
$f\left( \frac{1}{x} \right) = 1 : \frac{1}{x} = x = (f(x))^{-1}$;
Утверждение доказано.

г) $f(x) = x^2 + 2$;
$x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + 2 \geq 2 > 0$;
$f(|x|) = (|x|)^2 + 2 = x^2 + 2 = f(x)$;
$|f(x)| = |x^2 + 2| = x^2 + 2 = f(x)$;
Оба утверждения доказаны.

а) $f(x) = x^2 + 2$;
Необходимо доказать, что $f(x)$ является чётной функцией, то есть что выполняется $f(-x) = f(x)$.

Рассмотрим выражение для $f(-x)$:

$$f(-x) = (-x)^2 + 2$$

Применяем свойство возведения в квадрат: $(-x)^2 = x^2$. Получаем:

$$f(-x) = x^2 + 2$$

Замечаем, что это выражение совпадает с $f(x)$:

$$f(x) = x^2 + 2$$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$, и утверждение доказано.

б) $f(x) = -x^3 + 2x$;
Необходимо доказать, что $f(x)$ является нечётной функцией, то есть что выполняется $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим выражение для $f(-x)$:

$$f(-x) = -(-x)^3 + 2(-x)$$

Применяем свойства возведения в степень и умножения:

$(-x)^3 = -x^3$ (так как нечётная степень сохраняет знак) и $2(-x) = -2x$. Получаем:

$$f(-x) = -(-x^3) + (-2x) = x^3 — 2x$$

Теперь вычислим $-f(-x)$:

$$-f(-x) = -(x^3 — 2x) = -x^3 + 2x$$

Замечаем, что это выражение совпадает с $f(x)$:

$$f(x) = -x^3 + 2x$$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$, и утверждение доказано.

в) $f(x) = \frac{1}{x}$;
Необходимо доказать, что $f(x)$ является функцией, обратной к своей собственной. То есть, необходимо показать, что выполняется $f(f(x)) = x$.

Рассмотрим выражение для $f(f(x))$:

$$f(f(x)) = f\left( \frac{1}{x} \right)$$

Подставляем $\frac{1}{x}$ вместо $x$ в выражение для $f(x)$:

$$f\left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$$

Таким образом, $f(f(x)) = x$, и утверждение доказано.

г) $f(x) = x^2 + 2$;
Необходимо доказать два утверждения:

$f(x) \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $x^2 + 2 \geq 0$.

$f(|x|) = f(x)$ и $|f(x)| = f(x)$.

1. Доказательство того, что $f(x) \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$:

Известно, что $x^2 \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Следовательно, $x^2 + 2 \geq 2 > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, утверждение, что $f(x) \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, доказано.

2. Доказательство того, что $f(|x|) = f(x)$:

Рассмотрим выражение для $f(|x|)$:

$$f(|x|) = (|x|)^2 + 2$$

Замечаем, что $|x|^2 = x^2$, так как квадрат модуля числа равен квадрату этого числа. Получаем:

$$f(|x|) = x^2 + 2$$

Но это точно равно $f(x)$:

$$f(x) = x^2 + 2$$

Таким образом, $f(|x|) = f(x)$, и это утверждение доказано.

3. Доказательство того, что $|f(x)| = f(x)$:

Рассмотрим выражение для $|f(x)|$:

$$|f(x)| = |x^2 + 2|$$

Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 2 \geq 2 > 0$, то есть выражение внутри модуля положительно. Поэтому:

$$|f(x)| = x^2 + 2$$

Но это равно $f(x)$:

$$f(x) = x^2 + 2$$

Таким образом, $|f(x)| = f(x)$, и это утверждение также доказано.