ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.31 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область определения функции, учитывая все возможные значения параметра а:

а) $y = \frac{\sqrt{x — a}}{x^2 — 1}$;

б) $y = \sqrt{1 — a \cdot |x|}$;

в) $y = \frac{\sqrt{x^2 — 7x + 12}}{x — a}$;

г) $y = \frac{a \cdot x^3 — \sqrt{-x^2 — 7x + 8}}{1 + \sqrt{x — a}}$

а) $y = \frac{\sqrt{x — a}}{x^2 — 1}$;

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 1 \neq 0;$$ $$x^2 \neq 1;$$ $$x \neq \pm 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — a \geq 0;$$ $$x \geq a;$$

Ответ: если $a < -1$, тогда $D(f) = [a; -1) \cup (1; +\infty)$;
если $a = -1$, тогда $D(f) = (-1; 1) \cup (1; +\infty)$;
если $-1 < a < 1$, тогда $D(f) = [a; 1) \cup (1; +\infty)$;
если $a = 1$, тогда $D(f) = (1; +\infty)$;
если $a > 1$, тогда $D(f) = [a; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{1 — a \cdot |x|}$;

Выражение имеет смысл при:

$$1 — a \cdot |x| \geq 0;$$ $$a \cdot |x| \leq 1;$$ $$|x| \leq \frac{1}{a};$$ $$-\frac{1}{a} \leq x \leq \frac{1}{a};$$

Ответ: если $a \leq 0$, тогда $D(f) = \mathbb{R}$;
если $a > 0$, тогда $D(f) = \left[ -\frac{1}{a}; \frac{1}{a} \right]$.

в) $y = \frac{\sqrt{x^2 — 7x + 12}}{x — a}$;

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 7x + 12 \geq 0;$$

$D = 7^2 — 4 \cdot 12 = 49 — 48 = 1$, тогда:

$$x_1 = \frac{7 — 1}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4;$$ $$(x — 3)(x — 4) \geq 0;$$ $$x \leq 3 \quad \text{и} \quad x \geq 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — a \neq 0;$$ $$x \neq a;$$

Ответ: если $a < 3$, тогда $D(f) = (-\infty; a) \cup (a; 3] \cup [4; +\infty)$;
если $a = 3$, тогда $D(f) = (-\infty; 3) \cup [4; +\infty)$;
если $3 < a < 4$, тогда $D(f) = (-\infty; 3] \cup [4; +\infty)$;
если $a = 4$, тогда $D(f) = (-\infty; 3] \cup (4; +\infty)$;
если $a > 4$, тогда $D(f) = (-\infty; 3] \cup [4; a) \cup (a; +\infty)$.

г) $y = \frac{a \cdot x^3 — \sqrt{-x^2 — 7x + 8}}{1 + \sqrt{x — a}}$;

Выражение имеет смысл при:

$$-x^2 — 7x + 8 \geq 0;$$ $$x^2 + 7x — 8 \leq 0;$$

$D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81$, тогда:

$$x_1 = \frac{-7 — 9}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{2} = 1;$$ $$(x + 8)(x — 1) \leq 0;$$ $$-8 \leq x \leq 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 + \sqrt{x — a} \neq 0;$$ $$\sqrt{x — a} \neq -1;$$ $$x — a \geq 0;$$ $$x \geq a;$$

Ответ: если $a \leq -8$, тогда $D(f) = [-8; 1]$;
если $-8 < a < 1$, тогда $D(f) = [a; 1]$;
если $a = 1$, тогда $D(f) = \{1\}$;
если $a > 1$, тогда $D(f) = \varnothing$.

а) $y = \frac{\sqrt{x — a}}{x^2 — 1}$

Область определения для числителя:

Числитель представляет собой $\sqrt{x — a}$, а для того чтобы выражение под квадратным корнем имело смысл, необходимо, чтобы:

$$x — a \geq 0,$$

что означает:

$$x \geq a.$$

Область определения для знаменателя:

Знаменатель $x^2 — 1$ не должен равняться нулю, так как деление на ноль невозможно. То есть:

$$x^2 — 1 \neq 0.$$

Решим это неравенство:

$$x^2 \neq 1,$$

что даёт:

$$x \neq \pm 1.$$

Объединение ограничений:

Теперь соберем все условия:

• $x \geq a$, то есть $x$ должно быть больше или равно $a$.
• $x \neq 1$ и $x \neq -1$, то есть $x$ не может быть равным 1 или -1.

Ответ для области определения:

• Если $a < -1$, тогда $D(f) = [a; -1) \cup (1; +\infty)$;
• Если $a = -1$, тогда $D(f) = (-1; 1) \cup (1; +\infty)$;
• Если $-1 < a < 1$, тогда $D(f) = [a; 1) \cup (1; +\infty)$;
• Если $a = 1$, тогда $D(f) = (1; +\infty)$;
• Если $a > 1$, тогда $D(f) = [a; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{1 — a \cdot |x|}$

Область определения:

Чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо, чтобы:

$$1 — a \cdot |x| \geq 0.$$

Это можно переписать как:

$$a \cdot |x| \leq 1.$$

Разделим на $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

• Если $a > 0$, то:

  $$|x| \leq \frac{1}{a}.$$

  Это означает, что $x$ должно удовлетворять неравенству:

  $$-\frac{1}{a} \leq x \leq \frac{1}{a}.$$

• Если $a \leq 0$, то $|x| \leq \frac{1}{a}$ не имеет смысла, так как левая часть этого неравенства будет отрицательной, а правая — неотрицательной. Таким образом, область определения во всех этих случаях будет $\mathbb{R}$ (все действительные числа).

Ответ для области определения:

• Если $a \leq 0$, тогда $D(f) = \mathbb{R}$;
• Если $a > 0$, тогда $D(f) = \left[ -\frac{1}{a}; \frac{1}{a} \right]$.

в) $y = \frac{\sqrt{x^2 — 7x + 12}}{x — a}$

Область определения для числителя:

Числитель $\sqrt{x^2 — 7x + 12}$ требует, чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, то есть:

$$x^2 — 7x + 12 \geq 0.$$

Для этого решим неравенство. Начнем с нахождения корней квадратного уравнения $x^2 — 7x + 12 = 0$:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 — 48 = 1.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 1}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{D}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4.$$

Таким образом, $x^2 — 7x + 12 = (x — 3)(x — 4)$, и неравенство будет иметь вид:

$$(x — 3)(x — 4) \geq 0.$$

Это неравенство выполняется при $x \leq 3$ или $x \geq 4$.

Область определения для знаменателя:

Знаменатель $x — a$ не может быть равен нулю, то есть:

$$x \neq a.$$

Объединение ограничений:

Теперь соберем все ограничения:

• $x \leq 3$ или $x \geq 4$ (из числителя);
• $x \neq a$ (из знаменателя).

Ответ для области определения:

• Если $a < 3$, тогда $D(f) = (-\infty; a) \cup (a; 3] \cup [4; +\infty)$;
• Если $a = 3$, тогда $D(f) = (-\infty; 3) \cup [4; +\infty)$;
• Если $3 < a < 4$, тогда $D(f) = (-\infty; 3] \cup [4; +\infty)$;
• Если $a = 4$, тогда $D(f) = (-\infty; 3] \cup (4; +\infty)$;
• Если $a > 4$, тогда $D(f) = (-\infty; 3] \cup [4; a) \cup (a; +\infty)$.

г) $y = \frac{a \cdot x^3 — \sqrt{-x^2 — 7x + 8}}{1 + \sqrt{x — a}}$

Область определения для числителя:

Числитель $\sqrt{-x^2 — 7x + 8}$ требует, чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, то есть:

$$-x^2 — 7x + 8 \geq 0.$$

Преобразуем это неравенство:

$$x^2 + 7x — 8 \leq 0.$$

Решим квадратное неравенство $x^2 + 7x — 8 \leq 0$. Сначала находим корни уравнения $x^2 + 7x — 8 = 0$:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81.$$

Тогда:

$$x_1 = \frac{-7 — 9}{2} = -8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{2} = 1.$$

Таким образом, $x^2 + 7x — 8 = (x + 8)(x — 1)$, и неравенство будет иметь вид:

$$(x + 8)(x — 1) \leq 0.$$

Это неравенство выполняется при $-8 \leq x \leq 1$.

Область определения для знаменателя:

Знаменатель $1 + \sqrt{x — a}$ не может быть равен нулю, то есть:

$$1 + \sqrt{x — a} \neq 0.$$

Это означает, что:

$$\sqrt{x — a} \neq -1.$$

Поскольку квадратный корень не может быть отрицательным, то условие $\sqrt{x — a} \neq -1$ всегда выполняется. Тем не менее, необходимо, чтобы:

$$x — a \geq 0,$$

то есть:

$$x \geq a.$$

Объединение ограничений:

Теперь соберем все ограничения:

• $-8 \leq x \leq 1$ (из числителя);
• $x \geq a$ (из знаменателя).

Ответ для области определения:

• Если $a \leq -8$, тогда $D(f) = [-8; 1]$;
• Если $-8 < a < 1$, тогда $D(f) = [a; 1]$;
• Если $a = 1$, тогда $D(f) = \{1\}$;
• Если $a > 1$, тогда $D(f) = \varnothing$.