ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $f(x) = x^2 — 3x — 4$; $g(x) = 5x — x^2$. Найдите область определения функции:

$y = \sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{g(x)}$;

$y = \frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}}$;

$y = \sqrt{f(x) \cdot g(x)}$;

$y = \sqrt{\frac{g(x)}{f(x)}}$.

Даны функции:

$f(x) = x^2 — 3x — 4$, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$;

$g(x) = 5x — x^2$, область определения $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

Часть а)

$y = \sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{g(x)} = \sqrt{x^2 — 3x — 4} \cdot \sqrt{5x — x^2}$;

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 3x — 4 \geq 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$ $$(x + 1)(x — 4) \geq 0;$$ $$x \leq -1 \quad \text{и} \quad x \geq 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5x — x^2 \geq 0;$$ $$x(5 — x) \geq 0;$$ $$x(x — 5) \leq 0;$$ $$0 \leq x \leq 5;$$

Ответ: $D(y) = [4; 5]$.

Часть б)

$y = \sqrt{f(x) \cdot g(x)} = \sqrt{(x^2 — 3x — 4)(5x — x^2)}$;

Разложим первый многочлен на множители:

$$x^2 — 3x — 4 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$ $$(x + 1)(x — 4) = 0;$$

Разложим второй многочлен на множители:

$$5x — x^2 = 0;$$ $$x(5 — x) = 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$(x^2 — 3x — 4)(5x — x^2) \geq 0;$$ $$(x + 1)(x — 4)x(5 — x) \geq 0;$$ $$(x + 1)x(x — 4)(x — 5) \leq 0;$$ $$-1 \leq x \leq 0 \quad \text{и} \quad 4 \leq x \leq 5;$$

Ответ: $D(y) = [-1; 0] \cup [4; 5]$.

Часть в)

$y = \frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \frac{\sqrt{x^2 — 3x — 4}}{\sqrt{5x — x^2}}$;

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 3x — 4 \geq 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$ $$(x + 1)(x — 4) \geq 0;$$ $$x \leq -1 \quad \text{и} \quad x \geq 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5x — x^2 > 0;$$ $$x(5 — x) > 0;$$ $$x(x — 5) < 0;$$ $$0 < x < 5;$$

Ответ: $D(y) = [4; 5)$.

Часть г)

$y = \sqrt{\frac{g(x)}{f(x)}} = \sqrt{\frac{5x — x^2}{x^2 — 3x — 4}}$;

Разложим нижний многочлен на множители:

$$x^2 — 3x — 4 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$ $$(x + 1)(x — 4) = 0;$$

Разложим верхний многочлен на множители:

$$5x — x^2 = 0;$$ $$x(5 — x) = 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{5x — x^2}{x^2 — 3x — 4} \geq 0;$$ $$(x^2 — 3x — 4)(5x — x^2) \geq 0;$$ $$(x + 1)(x — 4)x(5 — x) \geq 0;$$ $$(x + 1)x(x — 4)(x — 5) \leq 0;$$ $$-1 < x \leq 0 \quad \text{и} \quad 4 < x \leq 5;$$

Ответ: $D(y) = (-1; 0] \cup (4; 5]$.

Даны две функции:

• $f(x) = x^2 — 3x — 4$, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$;
• $g(x) = 5x — x^2$, область определения $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

Нам нужно найти область определения для различных выражений, содержащих эти функции.

Часть а)

Рассмотрим выражение:

$$y = \sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{g(x)} = \sqrt{x^2 — 3x — 4} \cdot \sqrt{5x — x^2}$$

Для того чтобы выражение имело смысл, оба подкоренных выражения $f(x) = x^2 — 3x — 4$ и $g(x) = 5x — x^2$ должны быть неотрицательными (то есть больше либо равными нулю).

1. Условие для $f(x)$:

Нам нужно решить неравенство:

$$x^2 — 3x — 4 \geq 0$$

Для этого воспользуемся методом нахождения корней квадратного уравнения:

$$x^2 — 3x — 4 = 0$$

Дискриминант $D$ для этого уравнения равен:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 5}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Таким образом, корни уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$. Теперь, чтобы найти, при каких значениях $x$ выражение $x^2 — 3x — 4 \geq 0$, исследуем знак функции на интервалах, определяемых корнями:

• Для $x \leq -1$ функция $x^2 — 3x — 4$ положительна (так как парабола открывается вверх и значения функции на внешних интервалах положительные).
• Для $-1 < x < 4$ функция отрицательна.
• Для $x \geq 4$ функция снова положительна.

Значит, неравенство $x^2 — 3x — 4 \geq 0$ выполняется при $x \leq -1$ или $x \geq 4$.

2. Условие для $g(x)$:

Теперь решим неравенство для второй функции $g(x) = 5x — x^2$:

$$5x — x^2 \geq 0$$

Перепишем его как:

$$x(5 — x) \geq 0$$

Решим это неравенство методом интервалов:

• Нули выражения $x(5 — x) = 0$ при $x = 0$ и $x = 5$.
• Функция меняет знак на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 5)$ и $(5, +\infty)$.
  • Для $x \in (-\infty, 0)$ выражение $x(5 — x)$ отрицательно.
  • Для $x \in (0, 5)$ выражение $x(5 — x)$ положительно.
  • Для $x \in (5, +\infty)$ выражение $x(5 — x)$ отрицательно.

Таким образом, неравенство $x(5 — x) \geq 0$ выполняется при $0 \leq x \leq 5$.

3. Объединение условий:

Чтобы оба выражения $\sqrt{x^2 — 3x — 4}$ и $\sqrt{5x — x^2}$ имели смысл, $x$ должен удовлетворять одновременно двум условиям:

• $x \leq -1$ или $x \geq 4$ (для $f(x)$)
• $0 \leq x \leq 5$ (для $g(x)$)

Объединяя эти два условия, получаем:

$$D(y) = [4; 5]$$

Ответ: $D(y) = [4; 5]$.

Часть б)

Теперь рассмотрим выражение:

$$y = \sqrt{f(x) \cdot g(x)} = \sqrt{(x^2 — 3x — 4)(5x — x^2)}$$

Для того чтобы это выражение имело смысл, произведение $f(x) \cdot g(x)$ должно быть неотрицательным:

$$(x^2 — 3x — 4)(5x — x^2) \geq 0$$

1. Разложим оба множителя на множители:

• $x^2 — 3x — 4 = (x + 1)(x — 4)$
• $5x — x^2 = x(5 — x)$

Таким образом, выражение для $f(x) \cdot g(x)$ принимает вид:

$$(x + 1)(x — 4) \cdot x(5 — x) \geq 0$$

2. Исследуем знак произведения:

Нули функции: $x = -1, x = 4, x = 0, x = 5$.

Проверим знак произведения на интервалах, определяемых этими точками:

• Для $x \in (-\infty, -1)$ выражение положительно.
• Для $x \in (-1, 0)$ выражение отрицательно.
• Для $x \in (0, 4)$ выражение положительно.
• Для $x \in (4, 5)$ выражение отрицательно.
• Для $x \in (5, +\infty)$ выражение положительно.

Таким образом, неравенство $(x + 1)(x — 4) \cdot x(5 — x) \geq 0$ выполняется на интервалах $[-1, 0] \cup [4, 5]$.

Ответ: $D(y) = [-1; 0] \cup [4; 5]$.

Часть в)

Теперь рассмотрим выражение:

$$y = \frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}} = \frac{\sqrt{x^2 — 3x — 4}}{\sqrt{5x — x^2}}$$

Для того чтобы это выражение имело смысл, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными, но также знаменатель $\sqrt{g(x)}$ не должен быть равен нулю.

1. Условие для $f(x)$:

Решаем неравенство:

$$x^2 — 3x — 4 \geq 0$$

Решение этого неравенства мы уже нашли в части а):

$$x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4$$

2. Условие для $g(x)$:

Нам нужно, чтобы $g(x) > 0$, то есть:

$$5x — x^2 > 0$$

Решаем неравенство:

$$x(5 — x) > 0$$

Это неравенство выполняется на интервале $0 < x < 5$.

3. Объединение условий:

Чтобы выражение имело смысл, $x$ должен удовлетворять одновременно двум условиям:

• $x \leq -1$ или $x \geq 4$ (для $f(x)$),
• $0 < x < 5$ (для $g(x)$).

Объединяя эти два условия, получаем:

$$D(y) = [4; 5)$$

Ответ: $D(y) = [4; 5)$.

Часть г)

Теперь рассмотрим выражение:

$$y = \sqrt{\frac{g(x)}{f(x)}} = \sqrt{\frac{5x — x^2}{x^2 — 3x — 4}}$$

Для того чтобы это выражение имело смысл, числитель $5x — x^2$ должен быть неотрицательным, а знаменатель $x^2 — 3x — 4$ также должен быть неотрицательным, при этом знаменатель не должен быть равен нулю.

1. Условие для $f(x)$ (знаменатель):

Решаем неравенство:

$$x^2 — 3x — 4 \geq 0$$

Решение этого неравенства мы уже нашли в части а):

$$x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4$$

2. Условие для $g(x)$ (числитель):

Нам нужно, чтобы $g(x) \geq 0$, то есть:

$$5x — x^2 \geq 0$$

Решаем неравенство:

$$x(5 — x) \geq 0$$

Решение этого неравенства также мы нашли в части а):

$$0 \leq x \leq 5$$

3. Объединение условий:

Чтобы выражение имело смысл, $x$ должен удовлетворять одновременно двум условиям:

• $x \leq -1$ или $x \geq 4$ (для $f(x)$),
• $0 \leq x \leq 5$ (для $g(x)$).

Объединяя эти два условия, получаем:

$$D(y) = (-1; 0] \cup (4; 5]$$

Ответ: $D(y) = (-1; 0] \cup (4; 5]$.